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| 1 | +--- |
| 2 | +title: 1.3 时间复杂度 |
| 3 | +type: docs |
| 4 | +weight: 3 |
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| 7 | +# 时间复杂度和空间复杂度 |
| 8 | + |
| 9 | + |
| 10 | +## 一. 时间复杂度数据规模 |
| 11 | + |
| 12 | +1s 内能解决问题的数据规模：10^6 ~ 10^7 |
| 13 | + |
| 14 | +- O(n^2) 算法可以处理 10^4 级别的数据规模(保守估计，处理 1000 级别的问题肯定没问题) |
| 15 | +- O(n) 算法可以处理 10^8 级别的数据规模(保守估计，处理 10^7 级别的问题肯定没问题) |
| 16 | +- O(nlog n) 算法可以处理 10^7 级别的数据规模(保守估计，处理 10^6 级别的问题肯定没问题) |
| 17 | + |
| 18 | +| | 数据规模|时间复杂度 | 算法举例| |
| 19 | +|:------:|:------:|:------:|:------:| |
| 20 | +|1|10|O(n!)|permutation 排列| |
| 21 | +|2|20~30|O(2^n)|combination 组合| |
| 22 | +|3|50|O(n^4)|DFS 搜索、DP 动态规划| |
| 23 | +|4|100|O(n^3)|任意两点最短路径、DP 动态规划| |
| 24 | +|5|1000|O(n^2)|稠密图、DP 动态规划| |
| 25 | +|6|10^6|O(nlog n)|排序，堆，递归与分治| |
| 26 | +|7|10^7|O(n)|DP 动态规划、图遍历、拓扑排序、树遍历| |
| 27 | +|8|10^9|O(sqrt(n))|筛素数、求平方根| |
| 28 | +|9|10^10|O(log n)|二分搜索| |
| 29 | +|10|+∞|O(1)|数学相关算法| |
| 30 | +|----------------|----------------|------------------------------------------------------------------|--------------------------------| |
| 31 | + |
| 32 | + |
| 33 | +一些具有迷惑性的例子： |
| 34 | + |
| 35 | +```c |
| 36 | +void hello (int n){ |
| 37 | + |
| 38 | + for( int sz = 1 ; sz < n ; sz += sz) |
| 39 | + for( int i = 1 ; i < n ; i ++) |
| 40 | + cout << "Hello" << endl; |
| 41 | +} |
| 42 | +``` |
| 43 | +
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| 44 | +上面这段代码的时间复杂度是 O(nlog n) 而不是 O(n^2) |
| 45 | +
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| 46 | +```c |
| 47 | +bool isPrime (int n){ |
| 48 | +
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| 49 | + for( int x = 2 ; x * x <= n ; x ++ ) |
| 50 | + if( n % x == 0) |
| 51 | + return false; |
| 52 | + return true; |
| 53 | +} |
| 54 | +``` |
| 55 | + |
| 56 | +上面这段代码的时间复杂度是 O(sqrt(n)) 而不是 O(n)。 |
| 57 | + |
| 58 | +再举一个例子，有一个字符串数组，将数组中的每一个字符串按照字母序排序，之后再降整个字符串数组按照字典序排序。两步操作的整体时间复杂度是多少呢？ |
| 59 | + |
| 60 | +如果回答是 O(n*nlog n + nlog n) = O(n^2log n)，这个答案是错误的。字符串的长度和数组的长度是没有关系的，所以这两个变量应该单独计算。假设最长的字符串长度为 s，数组中有 n 个字符串。对每个字符串排序的时间复杂度是 O(slog s)，将数组中每个字符串都按照字母序排序的时间复杂度是 O(n * slog s)。 |
| 61 | + |
| 62 | +将整个字符串数组按照字典序排序的时间复杂度是 O(s * nlog n)。排序算法中的 O(nlog n) 是比较的次数，由于比较的是整型数字，所以每次比较是 O(1)。但是字符串按照字典序比较，时间复杂度是 O(s)。所以字符串数组按照字典序排序的时间复杂度是 O(s * nlog n)。所以整体复杂度是 O(n * slog s) + O(s * nlog n) = O(n\*slog s + s\*nlogn) = O(n\*s\*(log s + log n)) |
| 63 | + |
| 64 | +## 二. 空间复杂度 |
| 65 | + |
| 66 | +递归调用是有空间代价的，递归算法需要保存递归栈信息，所以花费的空间复杂度会比非递归算法要高。 |
| 67 | + |
| 68 | +```c |
| 69 | +int sum( int n ){ |
| 70 | + assert( n >= 0 ) |
| 71 | + int ret = 0; |
| 72 | + for ( int i = 0 ; i <= n ; i++) |
| 73 | + ret += i; |
| 74 | + return ret; |
| 75 | +} |
| 76 | +``` |
| 77 | +
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| 78 | +上面算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度 O(1)。 |
| 79 | +
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| 80 | +```c |
| 81 | +int sum( int n ){ |
| 82 | + assert( n >= 0 ) |
| 83 | + if ( n == 0 ) |
| 84 | + return 0; |
| 85 | + return n + sum( n - 1); |
| 86 | +} |
| 87 | +``` |
| 88 | + |
| 89 | +上面算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度 O(n)。 |
| 90 | + |
| 91 | +## 三. 递归的时间复杂度 |
| 92 | + |
| 93 | +### 只有一次递归调用 |
| 94 | + |
| 95 | +如果递归函数中，只进行了一次递归调用，且递归深度为 depth，在每个递归函数中，时间复杂度为 T，那么总体的时间复杂度为 O(T * depth) |
| 96 | + |
| 97 | +举个例子： |
| 98 | + |
| 99 | +```c |
| 100 | +int binarySearch(int arr[], int l, int r, int target){ |
| 101 | + if( l > r) |
| 102 | + return -1; |
| 103 | + int mid = l + (r-l)/2;//防溢出 |
| 104 | + if(arr[mid] == target) |
| 105 | + return mid; |
| 106 | + else if (arr[mid]>target) |
| 107 | + return binarySearch(arr,l,mid-1,target); |
| 108 | + eles |
| 109 | + return binarySearch(arr,mid+1,r,target); |
| 110 | +} |
| 111 | + |
| 112 | +``` |
| 113 | +
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| 114 | +在二分查找的递归实现中，只递归调用了自身。递归深度是 log n ，每次递归里面的复杂度是 O(1) 的，所以二分查找的递归实现的时间复杂度为 O(log n) 的。 |
| 115 | +
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| 116 | +
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| 117 | +### 只有多次递归调用 |
| 118 | +
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| 119 | +针对多次递归调用的情况，就需要看它的计算调用的次数了。通常可以画一颗递归树来看。举例： |
| 120 | +
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| 121 | +```c |
| 122 | +int f(int n){ |
| 123 | + assert( n >= 0 ); |
| 124 | + if( n ==0 ) |
| 125 | + return 1; |
| 126 | + return f( n - 1 ) + f ( n - 1 ); |
| 127 | +
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| 128 | +``` |
| 129 | + |
| 130 | +上述这次递归调用的次数为 2^0^ + 2^1^ + 2^2^ + …… + 2^n^ = 2^n+1^ - 1 = O(2^n) |
| 131 | + |
| 132 | + |
| 133 | +> 关于更加复杂的递归的复杂度分析，请参考，主定理。主定理中针对各种复杂情况都给出了正确的结论。 |
| 134 | +
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| 135 | + |
| 136 | +---------------------------------------------- |
| 137 | +<div style="display: flex;justify-content: space-between;align-items: center;"> |
| 138 | +<p><a href="https://books.halfrost.com/leetcode/ChapterOne/Algorithm/">⬅️上一页</a></p> |
| 139 | +<p><a href="https://books.halfrost.com/leetcode/ChapterTwo/">下一章➡️</a></p> |
| 140 | +</div> |
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