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自然数の $k$ 乗和

Author: hitonanode

utilities/kth_power_sum.hpp

@@ -0,0 +1,41 @@
+#pragma once
+#include <vector>
+
+// Computes the sum of the k-th powers
+// Complexity:
+// - O(k) per query,
+// - O(k^2) precomputation (can be reduced to O(k log k) with FFT)
+template <class MODINT> struct kth_power_sum {
+
+    // generating function:  x / (e^x - 1) + x
+    // NOTE: use B(1) = 1/2 definition
+    std::vector<MODINT> bernoulli;
+
+    kth_power_sum() = default;
+
+    void expand() {
+        if (bernoulli.empty()) {
+            bernoulli = {1};
+        } else {
+            const int k = bernoulli.size();
+            MODINT x(0);
+            for (int i = 0; i < k; ++i) { x = -x + bernoulli[i] * MODINT::binom(k + 1, i); }
+            bernoulli.push_back(x / (k + 1));
+        }
+    }
+
+    // Calculate 1^k + 2^k + ... + n^k
+    // Based on Faulhaber's formula:
+    // S_k(n) = 1 / (k + 1) * sum_{j=0}^{k} B_j * C(k + 1, j) * n^(k + 1 - j)
+
+    template <class T> MODINT prefix_sum(int k, const T &n) {
+        while ((int)bernoulli.size() <= k) expand();
+
+        MODINT ret(0), np(1);
+        for (int j = k; j >= 0; --j) {
+            np *= n;
+            ret += MODINT::binom(k + 1, j) * bernoulli[j] * np;
+        }
+        return ret / (k + 1);
+    }
+};

utilities/kth_power_sum.md

@@ -0,0 +1,27 @@
+---
+title: Sum of $k$-th powers of first $n$ positive integers （自然数の $k$ 乗和）
+documentation_of: ./kth_power_sum.hpp
+---
+
+「 $1$ 以上 $n$ 以下の自然数の $k$ 乗の総和」を Faulhaber の公式を用いて計算する．
+
+内部で Bernoulli 数の先頭 $k + 1$ 項を計算する必要がある．このコードでは `prefix_sum()` メンバ関数が呼ばれた時点で動的に不足している部分を計算し， $\Theta(k^2)$ で動く．より高速にする必要があれば，母関数 $x / (\exp(x) - 1) + x$ （第 1 項の定義に $+1/2$ を採用している点に注意）の冪級数展開を FFT 等で計算してメンバ変数 `bernoulli` に事前に設定しておけばよい．
+
+## 使用方法
+
+```cpp
+using mint = ModInt<998244353>;
+kth_power_sum<mint> kp;
+
+int k = 1;
+long long n = 10;
+
+auto sum = kp.prefix_sum(k, n);  // 1^k + ... + n^k
+
+assert(sum == mint(55));
+```
+
+## 問題例
+
+- [No.665 Bernoulli Bernoulli - yukicoder](https://yukicoder.me/problems/no/665)
+- [Educational Codeforces Round 7 F. The Sum of the k-th Powers - Codeforces](https://codeforces.com/contest/622/problem/F)

utilities/test/kth_power_sum.yuki665.test.cpp

@@ -0,0 +1,15 @@
+#define PROBLEM "https://yukicoder.me/problems/no/665"
+#include "../kth_power_sum.hpp"
+#include "../../modint.hpp"
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    long long n;
+    int k;
+    cin >> n >> k;
+
+    kth_power_sum<ModInt<1000000007>> kps;
+
+    cout << kps.prefix_sum(k, n) << '\n';
+}