📝 更新文档，新增贪心算法与动态规划示例

- 在文档中新增了贪心集合覆盖问题的描述及示例，展示了如何使用贪心算法解决覆盖问题。
- 增加了背包问题的详细说明与动态规划解法，阐述了如何在给定容量下选择物品以最大化总价值。
- 提升了文档的实用性与参考价值，增强了对算法应用场景的理解。

Author: jiangyangcreate

docs/docs/选择编程语言/Python/99练习.mdx

@@ -1498,3 +1498,335 @@ B+树是B树的一种变种和改进，在数据库系统中应用更加广泛
 
 由于B+树这些优势，大多数现代数据库系统（如MySQL的InnoDB引擎、PostgreSQL等）都采用B+树作为索引结构，特别适合处理大量的范围查询和排序操作。
 
+
+### 贪心集合覆盖
+
+每个广播站都覆盖一个或者多个州市，广播站的覆盖范围可能会有重复。如何设计一个算法，找到最少广播站，覆盖所有州市？
+
+这是一个典型的**集合覆盖**问题，可以使用贪心算法来解决。
+
+贪婪算法寻找局部最优解，可能不是全局最优解（例如背包问题），但通常情况下，贪婪算法的结果已经足够接近最优解。
+
+数据示例：
+
+```python showLineNumbers
+stations = {
+    'kone': {'id', 'nv', 'ut'},
+    'ktwo': {'wa', 'id', 'mt'},
+    'kthree': {'or', 'nv', 'ca'},
+    'kfour': {'nv', 'ut'},
+    'kfive': {'ca', 'az'},
+}
+```
+
+#### 思路
+
+正确的解可能有多个，你需要遍历所有未选择的广播站，从中选择一个最多未覆盖的广播站。
+
+#### 题解
+
+```python showLineNumbers
+stations = {
+    'kone': {'id', 'nv', 'ut'},
+    'ktwo': {'wa', 'id', 'mt'},
+    'kthree': {'or', 'nv', 'ca'},
+    'kfour': {'nv', 'ut'},
+    'kfive': {'ca', 'az'},
+}
+
+# 最终选择的广播站
+final_stations = set()
+
+# 获取所有州
+states_needed = set.union(*stations.values())
+print(states_needed)
+# {'mt', 'az', 'nv', 'wa', 'id', 'ut', 'ca', 'or'}
+
+# 如果还有未覆盖的州，则继续选择最好的广播站
+while states_needed :
+    # 当前最好的选择
+    best_station = None
+    # 当前最好的选择覆盖的州
+    states_covered = set()
+    for station, states in stations.items():
+        # 计算当前广播站与还需覆盖的州的交集
+        covered = states & states_needed
+        # 如果此交集比 states_covered 大，
+        if len(covered) > len(states_covered):
+            # 则更新当前最好的选择
+            best_station = station
+            # 则更新覆盖的州为当前交集
+            states_covered = covered
+    # 需要覆盖的州减去当前最好的选择的覆盖的州
+    states_needed -= states_covered
+    # 将当前最好的选择添加到最终选择的广播站中
+    print(best_station)
+    final_stations.add(best_station)
+"""
+kone
+ktwo
+kthree
+kfive
+"""
+```
+
+### 背包问题
+
+假设你有一个4磅的背包，需要在容量范围内，选择总价值最高的物品放入背包。
+
+```python showLineNumbers
+items = {
+    "音响":{'重量':4, '价值':3000},
+    "笔记本电脑":{'重量':3, '价值':2000},
+    "吉他":{'重量':1, '价值':1500},
+    "iphone":{'重量':1, '价值':2000},
+}
+```
+
+暴力求解的复杂度为$$2^n$$，其中n是物品数量。
+
+#### 思路
+
+这题属于动态规划问题，首先定义一个二维表格。
+
+|物品名称|1|2|3|4|
+|---|---|---|---|---|
+|音响|  |  |  | |
+|笔记本电脑|  |  |  | |
+|吉他|  |  |  | |
+|iphone|  |  |  | |
+
+这个表格的右上角表示：当只有音响可以选择时，且背包容量为1时，可选的最大价值。
+
+横向增加说明在当前可选择的物品中，背包容量增加。
+纵向增加说明在当前背包容量下，可选择的物品增加。
+
+所以我们可以从左上角开始，逐步填充表格。
+
+由于音响的重量为4，所以当背包容量为1 ~ 3时，无法选择音响。最大价值为0。当背包容量为4时，可以选择音响，最大价值为3000。
+
+|物品名称|1|2|3|4|
+|---|---|---|---|---|
+|音响| 0 | 0 | 0 | 3000|
+|笔记本电脑|  |  |  | |
+|吉他|  |  |  | |
+|iphone|  |  |  | |
+
+当来到第二行时，可以选择笔记本电脑或音响。其中笔记本电脑重量为3，所以当背包容量为1 ~ 2时，无法选择笔记本电脑。最大价值为0。
+
+当背包容量为3时，可以选择笔记本电脑，最大价值为2000。当背包容量为4时，可以选择笔记本电脑或音响，由于音响的价值更高，所以选择音响，最大价值为3000。
+
+|物品名称|1|2|3|4|
+|---|---|---|---|---|
+|音响| 0 | 0 | 0 | 3000|
+|笔记本电脑| 0 | 0 | 2000 | 3000|
+|吉他|  |  |  | |
+|iphone|  |  |  | |
+
+当来到第三行时，可以选择吉他、笔记本电脑或音响。
+
+当背包重量为1~2时，选吉他，最大价值为1500。不选则为0。所以应该选择，此时最大价值为1500。
+
+你会发现从上往下，每行都比上一行多一个物品。且对应的最大价值不会变小（只会变大或者与上一行相等）
+
+目前已经更新的表的最后一行，就表示当前容量下，可选物品的最大价值。
+
+且从左向右，每列都比前一格容量更多，所以对应的最大价值也不会变小（只会变大或者与上一行相等）
+
+最终右下角的值，就是整个表最大的值之一（因为可能会有多个相等的最大值）
+
+|物品名称|1|2|3|4|
+|---|---|---|---|---|
+|音响| 0 | 0 | 0 | 3000|
+|笔记本电脑| 0 | 0 | 2000 | 3000|
+|吉他| 1500 | 1500 | X | Y |
+|iphone|  |  |  | |
+
+所以当填写 "X" 时，我们<Highlight>向上数一格</Highlight>，发现至少有一个价值2000的选择。
+
+接下来比较其他可选项：吉他（1500）、或者不选（0）。取最大值，所以填写2000。
+
+当我们填写 "Y" 时，我们<Highlight>向左看</Highlight>，发现"Y"只比左侧的"X"增加<Highlight>一个</Highlight>空间。<Highlight>向上看</Highlight>，发现之前的最佳选择是3000。
+
+所以我们计算 容量3的最大值 + 容量1的最大值 = 2000 + 1500 = 3500
+
+和历史最佳3000取最大值，所以应该填 3500
+
+|物品名称|1|2|3|4|
+|---|---|---|---|---|
+|音响| 0 | 0 | 0 | 3000|
+|笔记本电脑| 0 | 0 | 2000 | 3000|
+|吉他| 1500 | 1500 | 2000 | 3500 |
+|iphone|  |  |  | |
+
+最后一层，我们尝试编写伪代码
+
+<Highlight>每下移一行，我们就会多了一个物品可以选择。所以这一行的每个判断都是围绕着是否选择这个新增物品展开的。</Highlight>
+
+首先判断当前背包空间是否大于等于这个物品的空间。如果是否则直接沿用上一列对应格子的值。
+
+其次判断如果比当前物品大，是否选择：
+
+如果选择这个物品，`最大价值 = 当前物品价值 + 表格[前一行][（当前背包空间-物品空间）的值]`
+
+如果不选择这个物品，`最大价值 = 表格[前一行][当前背包空间的值]`
+
+我们来试一下：
+
+```bash showLineNumbers
+
+当前容量 = 1
+
+当前背包空间是否大于等于这个物品的空间？ 1 >=1 ——> 是
+
+如果选择这个物品：
+
+最大价值 = 当前物品价值（2000） + 表格[前一行][（当前背包空间-物品空间）的值]（0） = 2000
+
+如果不选择这个物品：
+
+最大价值 = 表格[前一行][当前背包空间的值]（1500） = 1500
+
+所以应该选择这个物品，最大价值为2000。
+```
+
+|物品名称|1|2|3|4|
+|---|---|---|---|---|
+|音响| 0 | 0 | 0 | 3000|
+|笔记本电脑| 0 | 0 | 2000 | 3000|
+|吉他| 1500 | 1500 | 2000 | 3500 |
+|iphone| 2000 |  |  | |
+
+```bash showLineNumbers
+当前容量 = 2
+
+当前背包空间是否大于等于这个物品的空间？ 2 >=1 ——> 是
+
+如果选择这个物品：
+
+最大价值 = 当前物品价值（2000） + 表格[前一行][（当前背包空间-物品空间）的值]（1500） = 3500
+
+如果不选择这个物品：
+
+最大价值 = 表格[前一行][当前背包空间的值]（1500） = 1500
+
+所以应该选择这个物品，最大价值为3500。
+```
+
+|物品名称|1|2|3|4|
+|---|---|---|---|---|
+|音响| 0 | 0 | 0 | 3000|
+|笔记本电脑| 0 | 0 | 2000 | 3000|
+|吉他| 1500 | 1500 | 2000 | 3500 |
+|iphone| 2000 | 3500 |  |  |
+
+```bash showLineNumbers
+当前容量 = 3
+
+当前背包空间是否大于等于这个物品的空间？ 3 >=1 ——> 是
+
+如果选择这个物品：
+
+最大价值 = 当前物品价值（2000） + 表格[前一行][（当前背包空间-物品空间）的值]（1500） = 3500
+
+如果不选择这个物品：
+
+最大价值 = 表格[前一行][当前背包空间的值]（2000） = 2000
+
+所以应该选择这个物品，最大价值为3500。
+```
+|物品名称|1|2|3|4|
+|---|---|---|---|---|
+|音响| 0 | 0 | 0 | 3000|
+|笔记本电脑| 0 | 0 | 2000 | 3000|
+|吉他| 1500 | 1500 | 2000 | 3500 |
+|iphone| 2000 | 3500 | 3500 |  |
+
+
+```bash showLineNumbers
+当前容量 = 4
+
+当前背包空间是否大于等于这个物品的空间？ 4 >=1 ——> 是
+
+如果选择这个物品：
+
+最大价值 = 当前物品价值（2000） + 表格[前一行][（当前背包空间-物品空间）的值]（2000） = 4000
+
+如果不选择这个物品：
+
+最大价值 = 表格[前一行][当前背包空间的值]（3500） = 3500
+
+所以应该选择这个物品，最大价值为4000。
+```
+
+|物品名称|1|2|3|4|
+|---|---|---|---|---|
+|音响| 0 | 0 | 0 | 3000|
+|笔记本电脑| 0 | 0 | 2000 | 3000|
+|吉他| 1500 | 1500 | 2000 | 3500 |
+|iphone| 2000 | 3500 | 3500 | 4000 |
+
+最后的最大值一定在左下角。（可能出现多个相等的最大值）
+
+#### 题解
+
+```python showLineNumbers
+items = {
+    "音响": {'重量': 4, '价值': 3000},
+    "笔记本电脑": {'重量': 3, '价值': 2000},
+    "吉他": {'重量': 1, '价值': 1500},
+    "iphone": {'重量': 1, '价值': 2000},
+}
+# 背包最大容量
+max_weight = 4
+# 物品名称
+names = list(items.keys())
+
+# 行：物品个数，列：当前背包容量（1~max_weight）
+rows = len(names)
+cols = max_weight
+
+# dp[i][w] 表示：在前 i 个物品中选择，容量为 w 时的最大价值
+dp = [[0] * (cols + 1) for _ in range(rows + 1)]
+
+# 为了让我们使用统一的状态转移方程，我们多生成了一列0和一行0，便于我们使用统一的状态转移方程。
+# 表示当没有物品或没有背包空间时，最大价值为0。
+# 下图中我用0.0 将其特殊标注出来
+# 你从A开始逐行填写，填到Z
+"""
+[[0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0],
+ [0.0, A, 0, 0, 0],
+ [0.0, 0, 0, 0, 0],
+ [0.0, 0, 0, 0, Z]]
+"""
+for i in range(1, rows + 1):
+    name = names[i - 1]
+    weight = items[name]['重量']
+    value = items[name]['价值']
+    # 判断当前行的每一个背包空间是否应该选择这个物品
+    for w in range(1, cols + 1):
+        # 首先判断当前背包空间是否大于等于这个物品的空间
+        if w < weight:
+            # 如果否，则直接沿用上一行对应格子的值
+            dp[i][w] = dp[i - 1][w]
+        else:
+            # 如果是，则围绕「是否选择这个新增物品」展开判断
+            # 选择这个物品：当前物品价值 + 表格[前一行][当前背包空间-物品空间]
+            choose = value + dp[i - 1][w - weight]
+            # 不选择这个物品：表格[前一行][当前背包空间]
+            not_choose = dp[i - 1][w]
+            # 取两者中的最大值
+            dp[i][w] = max(choose, not_choose)
+
+# 打印表格，便于和上面的推导对照
+header = ["物品名称"] + [str(w) for w in range(1, cols + 1)]
+print("\t".join(header))
+for i in range(1, rows + 1):
+    row_name = names[i - 1]
+    values = [str(dp[i][w]) for w in range(1, cols + 1)]
+    print(row_name + "\t" + "\t".join(values))
+
+# 最右下角就是最大价值
+max_value = dp[rows][cols]
+print("最大总价值：", max_value)
+```