docs : 30 / 25 explain half circle convergence degradation

Explain why 0th and 1st order errors overlap (f(±r)=0 makes
trapezoid correction ineffective), why all methods converge at
slope ~1.5 instead of theoretical 1/2/4, and the key takeaway:
convergence order depends on both the method and the smoothness
of the integrand.

Discussion-With: KangWon LEE
Co-Authored-By: Claude Opus 4.6 <noreply@anthropic.com>

Author: claude

30_num_int/25_convergence_order.ipynb

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-   "source": [
-    "반원 함수는 양 끝점 $x = \\pm r$ 에서 도함수가 발산하므로, 매끄러운 함수에서와 수렴 양상이 다를 수 있다.<br>\n",
-    "Since the half circle function has diverging derivatives at the endpoints $x = \\pm r$, the convergence behavior may differ from that of a smooth function."
-   ]
+   "source": "반원 함수 $f(x) = \\sqrt{r^2 - x^2}$ 는 양 끝점 $x = \\pm r$ 에서 도함수 $f'(x) = \\frac{-x}{\\sqrt{r^2 - x^2}}$ 가 발산한다.<br>\nThe half circle function $f(x) = \\sqrt{r^2 - x^2}$ has a diverging derivative $f'(x) = \\frac{-x}{\\sqrt{r^2 - x^2}}$ at the endpoints $x = \\pm r$.\n\n그 결과 세 가지 현상이 관찰된다:<br>\nAs a result, three phenomena are observed:\n\n1. **0차와 1차의 오차가 거의 같다.** 사다리꼴 규칙은 양 끝점의 함수값을 평균하여 직사각형 규칙을 보정하는데, 양 끝점에서 $f(\\pm r) = 0$ 이므로 보정 효과가 없다.<br>\n**0th and 1st order errors are nearly identical.** The trapezoid rule improves upon the rectangle rule by averaging function values at both endpoints of each subinterval, but since $f(\\pm r) = 0$ at the endpoints, this correction has no effect.\n\n2. **세 방법 모두 기울기가 약 1.5이다.** 이론적 수렴 차수 1, 2, 4 대신, 끝점의 특이성이 오차를 지배하여 모든 방법이 같은 속도로 수렴한다.<br>\n**All three methods have a slope of approximately 1.5.** Instead of the theoretical convergence orders 1, 2, 4, the endpoint singularity dominates the error and all methods converge at the same rate.\n\n3. **고차 방법의 이점이 사라진다.** 심슨 규칙이 사다리꼴 규칙보다 크게 나은 결과를 주지 못한다.<br>\n**The advantage of higher-order methods vanishes.** Simpson's rule does not give significantly better results than the trapezoid rule."
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-   "source": [
-    "매끄러운 함수 ($e^x$) 에서는 이론적인 수렴 차수가 잘 나타난다. 반면 반원처럼 끝점에서 도함수가 특이한 함수에서는 수렴 차수가 낮아질 수 있다.<br>\n",
-    "For a smooth function ($e^x$), the theoretical convergence order is clearly observed. On the other hand, for functions with derivative singularities at the endpoints, like the half circle, the convergence order may be reduced."
-   ]
+   "source": "매끄러운 함수 ($e^x$) 에서는 이론적인 수렴 차수가 잘 나타난다: 0차, 1차, 2차 방법이 각각 기울기 1, 2, 4 로 명확히 분리된다.<br>\nFor a smooth function ($e^x$), the theoretical convergence order is clearly observed: the 0th, 1st, and 2nd order methods are clearly separated with slopes 1, 2, and 4 respectively.\n\n반면 반원처럼 끝점에서 도함수가 특이한 함수에서는 세 방법이 모두 비슷한 기울기 (약 1.5) 로 수렴한다.<br>\nOn the other hand, for functions with derivative singularities at the endpoints like the half circle, all three methods converge with a similar slope (approximately 1.5).\n\n**수렴 차수는 방법의 차수만으로 결정되지 않고, 피적분함수의 매끄러운 정도에도 의존한다.**<br>\n**The convergence order is not determined by the method's order alone; it also depends on the smoothness of the integrand.**"
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