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<!DOCTYPE html>
<html lang="fr">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
<title>Cours Interactif : Chaînes de Markov (DTMC)</title>
<!-- MathJax Configuration -->
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MathJax = {
tex: {
inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']],
displayMath: [['$$', '$$'], ['\\[', '\\]']]
}
};
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<script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-chtml.js"></script>
<style>
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--accent: #3498db;
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--danger: #c0392b;
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}
body {
font-family: 'Segoe UI', Tahoma, Geneva, Verdana, sans-serif;
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}
.container {
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margin: 0 auto;
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box-shadow: 0 4px 15px rgba(0,0,0,0.05);
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h1, h2, h3 { color: var(--primary); }
h1 { text-align: center; border-bottom: 3px solid var(--accent); padding-bottom: 10px; margin-bottom: 30px; }
h2 { border-left: 5px solid var(--accent); padding-left: 10px; margin-top: 40px; background: #eaf2f8; padding: 10px; }
/* Pedagogical Boxes */
.box {
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.def { background-color: #e8f4fd; border-color: var(--accent); }
.vigilance { background-color: #fff3cd; border-color: var(--warning); }
.tip { background-color: #e9f7ef; border-color: var(--success); }
.box h4 { margin-top: 0; display: flex; align-items: center; gap: 10px; }
/* Mini Exercises */
.exercise {
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.exercise-header { font-weight: bold; color: var(--primary); margin-bottom: 10px; }
.solution-btn {
background-color: var(--primary);
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.solution-btn:hover { background-color: #1a252f; }
.solution-content {
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margin-top: 15px;
padding: 15px;
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/* Graph Containers */
.graph-container {
text-align: center;
margin: 20px 0;
padding: 10px;
border: 1px solid #ddd;
border-radius: 4px;
background: white;
overflow-x: auto;
}
.graph-source { display: none; } /* Hidden text areas for graph code */
/* Tables for Solutions */
table.sol-table {
width: 100%;
border-collapse: collapse;
margin-top: 10px;
}
table.sol-table th, table.sol-table td {
border: 1px solid #ddd;
padding: 8px;
text-align: left;
}
table.sol-table th { background-color: var(--accent); color: white; }
table.sol-table tr:nth-child(even) { background-color: #f2f2f2; }
code { background: #f1f1f1; padding: 2px 5px; border-radius: 3px; font-family: monospace; color: #c7254e; }
</style>
</head>
<body>
<div class="container">
<h1>Partie II : Chaînes de Markov à Temps Discret (DTMC)</h1>
<p class="intro">
Ce module couvre les fondements des systèmes stochastiques évoluant par étapes discrètes. Nous explorerons la structure matricielle, la visualisation graphique et le comportement à long terme (régime stationnaire).
</p>
<!-- ================= CHAPTER 5 ================= -->
<h2>Chapitre 5 : Structure et Classification</h2>
<div class="box def">
<h4>📘 Définition : La Propriété de Markov</h4>
<p>Un système possède la propriété de Markov (ou "absence de mémoire") si la prédiction du futur ne dépend que de l'état <strong>présent</strong>, et non de l'historique passé.</p>
$$ P(X_{n+1} = j \mid X_n = i, \dots, X_0 = i_0) = P(X_{n+1} = j \mid X_n = i) = p_{ij} $$
</div>
<h3>5.1. La Matrice de Transition $P$</h3>
<p>La dynamique du système est entièrement décrite par une matrice carrée $P$ où l'élément $p_{ij}$ représente la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$.</p>
<div class="box vigilance">
<h4>⚠️ Zone de Vigilance : Propriétés de la Matrice</h4>
<ul>
<li>Les probabilités doivent être entre 0 et 1 : $0 \le p_{ij} \le 1$.</li>
<li><strong>La somme de chaque ligne doit valoir exactement 1</strong> ($\sum_{j} p_{ij} = 1$).</li>
<li>La somme des colonnes n'a pas d'obligation particulière (sauf cas doublement stochastique).</li>
</ul>
</div>
<!-- MINI EXERCISE 1 -->
<div class="exercise">
<div class="exercise-header">🎯 Mini-Exercice 1 : Validité d'une Matrice</div>
<p>La matrice suivante est-elle une matrice de transition valide pour une chaîne à 2 états ?</p>
$$ M = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.2 & 0.9 \end{pmatrix} $$
<button class="solution-btn" onclick="toggle('sol-1')">Voir la réponse</button>
<div id="sol-1" class="solution-content">
<strong>Réponse : NON.</strong>
<br>Vérifions les lignes :
<ul>
<li>Ligne 1 : $0.5 + 0.5 = 1$ ✅</li>
<li>Ligne 2 : $0.2 + 0.9 = 1.1 \neq 1$ ❌</li>
</ul>
La probabilité totale de quitter l'état 2 dépasse 100%, ce qui est impossible.
</div>
</div>
<h3>5.2. Représentation Graphique</h3>
<p>Les états sont des nœuds et les transitions positives ($p_{ij} > 0$) sont des arcs orientés.</p>
<h4>Exemple : Le "Jeu du Joueur" (Gambler's Ruin)</h4>
<p>Un joueur mise 1€ : il gagne (prob $p$) ou perd (prob $1-p$). Il s'arrête s'il atteint 0€ (Ruine) ou 3€ (Victoire).</p>
<!-- GRAPH RENDERING AREA -->
<div class="graph-container" id="graph-gambler"></div>
<textarea class="graph-source" data-target="graph-gambler">
digraph Gambler {
rankdir=LR;
bgcolor="transparent";
node [fontname="Arial"];
node [shape=doublecircle, style=filled, fillcolor="#e0e0e0"];
0 [label="0 (Ruine)"];
3 [label="3 (Victoire)"];
node [shape=circle, style=filled, fillcolor="white"];
1; 2;
0 -> 0 [label="1"];
1 -> 0 [label="1-p"];
1 -> 2 [label="p"];
2 -> 1 [label="1-p"];
2 -> 3 [label="p"];
3 -> 3 [label="1"];
}
</textarea>
<h3>5.3. Classification des États</h3>
<p>Pour comprendre l'évolution à long terme, il faut classer les états :</p>
<ul>
<li><strong>Transitoire :</strong> Une fois quitté, il est possible de ne jamais y revenir.</li>
<li><strong>Récurrent :</strong> Le système finira par y revenir avec une probabilité de 1.</li>
<li><strong>Absorbant :</strong> Un état qu'on ne peut plus quitter ($p_{ii} = 1$).</li>
</ul>
<h4>Analyse de Classes (Graphe Complexe)</h4>
<p>Observez les connexions dans le graphe ci-dessous. Identifiez les "groupes" d'états qui communiquent entre eux.</p>
<!-- GRAPH RENDERING AREA -->
<div class="graph-container" id="graph-class"></div>
<textarea class="graph-source" data-target="graph-class">
digraph Classification {
rankdir=TB;
bgcolor="transparent";
node [shape=circle, fontname="Arial"];
1 [style=dashed, label="1 (T)"];
2 [style=dashed, label="2 (T)"];
node [style=solid, penwidth=2, fillcolor="#e8f4fd", style=filled];
3;4;5;6;7;
1 -> 2 [label="2/3"];
1 -> 3 [label="1/3"];
2 -> 6 [label="1/3"];
subgraph cluster_C3 {
style=invis;
3 -> 4 [label="2/3"];
3 -> 5 [label="1/3"];
4 -> 3 [label="1/3"];
4 -> 5 [label="2/3"];
5 -> 3 [label="2/3"];
5 -> 4 [label="1/3"];
}
subgraph cluster_C4 {
style=invis;
6 -> 6 [label="1/2"];
6 -> 7 [label="1/2"];
7 -> 6 [label="1"];
}
}
</textarea>
<!-- MINI EXERCISE 2 -->
<div class="exercise">
<div class="exercise-header">🧠 Mini-Exercice 2 : Lecture de Graphe</div>
<p>Dans le graphe ci-dessus, si le système démarre à l'état <strong>2</strong>, peut-il atteindre l'état <strong>5</strong> ?</p>
<button class="solution-btn" onclick="toggle('sol-2')">Voir la réponse</button>
<div id="sol-2" class="solution-content">
<strong>Réponse : NON.</strong>
<br>
Regardez les flèches partant de l'état 2. La seule transition sortante mène à l'état 6.
<br>Une fois en 6, on peut aller en 7 et revenir en 6. Il n'y a aucun chemin (suite de flèches) qui relie le groupe {6, 7} au groupe {3, 4, 5}.
</div>
</div>
<!-- ================= CHAPTER 6 ================= -->
<h2>Chapitre 6 : Calculs et Régime Stationnaire</h2>
<h3>6.1. Distributions Transitoires</h3>
<p>Si $\Pi_0$ est le vecteur de probabilité initial, l'état à l'étape $n$ est donné par :</p>
$$ \Pi_{n} = \Pi_0 \times P^n $$
<h3>6.2. Distribution Stationnaire ($\Pi$)</h3>
<div class="box tip">
<h4>💡 Pro-Tip : L'Équilibre</h4>
<p>Le régime stationnaire représente l'état "d'équilibre" du système après un temps très long. C'est une distribution de probabilité constante.</p>
</div>
<p>Pour trouver $\Pi = [\pi_1, \pi_2, \dots]$, on résout le système linéaire :</p>
<ol>
<li>$\Pi = \Pi P$ (Invariance)</li>
<li>$\sum \pi_i = 1$ (Normalisation)</li>
</ol>
<!-- MINI EXERCISE 3 -->
<div class="exercise">
<div class="exercise-header">✏️ Mini-Exercice 3 : Calcul Stationnaire</div>
<p>Soit la matrice $P = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Trouvez la distribution stationnaire $(\pi_1, \pi_2)$.</p>
<button class="solution-btn" onclick="toggle('sol-3')">Voir la réponse</button>
<div id="sol-3" class="solution-content">
<strong>Résolution :</strong>
<br>
1. Équation : $(\pi_1, \pi_2) = (\pi_1, \pi_2) \times P$
$$ \begin{cases} \pi_1 = 0.5\pi_1 + 1\pi_2 \\ \pi_2 = 0.5\pi_1 + 0\pi_2 \end{cases} $$
2. De la 2ème ligne : $\pi_2 = 0.5\pi_1$.
<br>
3. Normalisation : $\pi_1 + \pi_2 = 1$.
<br>
Substituons : $\pi_1 + 0.5\pi_1 = 1 \implies 1.5\pi_1 = 1 \implies \pi_1 = 2/3$.
<br>
Donc $\pi_2 = 1/3$.
<br>
<strong>$\Pi = [2/3, 1/3]$</strong>.
</div>
</div>
<h3>6.3. Étude de Cas : La File d'Attente avec Perte</h3>
<p>Modélisation d'un buffer (taille $K$) où les paquets arrivent (prob $a$) et sont servis (prob $1-p$). Si le buffer est plein, les nouveaux paquets sont perdus.</p>
<!-- GRAPH RENDERING AREA -->
<div class="graph-container" id="graph-queue"></div>
<textarea class="graph-source" data-target="graph-queue">
digraph PacketQueue {
rankdir=LR;
bgcolor="transparent";
node [shape=circle, style=filled, fillcolor="#e6f3ff", fontname="Arial"];
0 [label="0"];
1 [label="1"];
2 [label="2"];
dots [label="...", shape=none, style=none, width=0.5];
k [label="k"];
k1 [label="k+1"];
// Montée (Arrivée + Échec Service)
0 -> 1 [label="ap"];
1 -> 2 [label="ap"];
2 -> dots [label="ap"];
dots -> k [label="ap"];
k -> k1 [label="ap"];
// Descente (Pas d'arrivée + Succès Service)
1 -> 0 [label="(1-a)(1-p)"];
2 -> 1 [label="(1-a)(1-p)"];
dots -> 2 [label="(1-a)(1-p)"];
k -> dots [label="(1-a)(1-p)"];
k1 -> k [label="(1-a)(1-p)"];
}
</textarea>
<div class="box vigilance">
<h4>⚠️ Condition de Stabilité</h4>
<p>Pour que la file ne sature pas indéfiniment (dans le cas d'une file infinie), il faut que le "débit d'entrée" soit inférieur au "débit de sortie".</p>
$$ a < 1-p $$
<small>(Taux d'arrivée < Taux de service)</small>
</div>
<!-- ================= SOLUTIONS SECTION ================= -->
<h2 id="corriges">📝 Corrigés Détaillés des Travaux Dirigés</h2>
<p>Voici les solutions détaillées, étape par étape, des exemples complexes vus dans le cours.</p>
<h3>Exercice A : Classification Complète des États</h3>
<p><strong>Objectif :</strong> Analyser le graphe de la section 5.3 et déterminer les classes.</p>
<table class="sol-table">
<thead>
<tr>
<th>Étape</th>
<th>Analyse</th>
<th>Conclusion</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>1. État 1</td>
<td>On peut aller vers 2 et 3. Une fois en 3, on est piégé dans {3,4,5}. Une fois en 2, on va vers 6. Impossible de revenir en 1.</td>
<td><strong>Transitoire</strong></td>
</tr>
<tr>
<td>2. État 2</td>
<td>Mène obligatoirement à 6. Le groupe {6,7} est clos. Impossible de revenir en 2.</td>
<td><strong>Transitoire</strong></td>
</tr>
<tr>
<td>3. Classe {3,4,5}</td>
<td>3 va à 4 et 5. 4 va à 3 et 5. 5 va à 3 et 4. Ils communiquent tous entre eux. Aucune flèche ne sort de ce groupe vers l'extérieur.</td>
<td><strong>Classe Récurrente Fermée</strong></td>
</tr>
<tr>
<td>4. Classe {6,7}</td>
<td>6 et 7 forment une boucle fermée. Impossible d'en sortir.</td>
<td><strong>Classe Récurrente Fermée</strong></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p><em>Conclusion Globale :</em> La chaîne n'est pas irréductible car elle possède plusieurs classes fermées disjointes.</p>
<h3>Exercice B : Résolution de la File d'Attente (Géométrique)</h3>
<p><strong>Objectif :</strong> Trouver la probabilité $\pi_k$ qu'il y ait $k$ paquets dans le système.</p>
<table class="sol-table">
<thead>
<tr>
<th>Étape</th>
<th>Formule / Action</th>
<th>Résultat Intermédiaire</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>1. Équation de Coupe</td>
<td>Le flux qui passe de l'état $k$ à $k+1$ doit égaler le flux qui revient de $k+1$ à $k$ (équilibre local).</td>
<td>$\pi_k \cdot (ap) = \pi_{k+1} \cdot (1-a)(1-p)$</td>
</tr>
<tr>
<td>2. Définition de la raison</td>
<td>On isole $\pi_{k+1}$ pour trouver la relation de récurrence.</td>
<td>$\pi_{k+1} = \pi_k \cdot \frac{ap}{(1-a)(1-p)}$<br>Posons $q = \frac{ap}{(1-a)(1-p)}$</td>
</tr>
<tr>
<td>3. Solution Générale</td>
<td>C'est une suite géométrique.</td>
<td>$\pi_k = \pi_0 \cdot q^k$</td>
</tr>
<tr>
<td>4. Trouver $\pi_0$</td>
<td>On utilise la somme des probabilités : $\sum_{k=0}^{\infty} \pi_k = 1$.<br>Somme d'une série géométrique : $\frac{1}{1-q}$.</td>
<td>$\pi_0 ( \frac{1}{1-q} ) = 1 \implies \mathbf{\pi_0 = 1 - q}$</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p><strong>Formule Finale :</strong> $\pi_k = (1-q)q^k$ (Loi Géométrique).</p>
</div>
<!-- JAVASCRIPT LOGIC -->
<script type="module">
// Import Libraries
import { instance } from "https://unpkg.com/@viz-js/viz@3.2.0/lib/viz-standalone.mjs";
import mermaid from 'https://cdn.jsdelivr.net/npm/mermaid@10/dist/mermaid.esm.min.mjs';
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// Render Dot Function
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const container = document.getElementById(containerId);
if (!container) return;
container.innerHTML = '<div style="color:gray;">Génération du graphique...</div>';
try {
const viz = await instance();
const svg = viz.renderString(code, { engine: 'dot', format: 'svg' });
container.innerHTML = svg;
} catch (err) {
container.innerHTML = `<p style="color:red">Erreur Dot: ${err.message}</p>`;
}
}
// Main Logic to Find and Render Graphs
async function renderAllGraphs() {
const sources = document.querySelectorAll('.graph-source');
for (const source of sources) {
const targetId = source.getAttribute('data-target');
const code = source.value;
// We assume all our examples here are DOT for stability with the provided text
await renderDot(code, targetId);
}
}
// Run on load
window.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
renderAllGraphs();
});
</script>
<script>
// Simple function for toggling solutions (Non-module script)
function toggle(id) {
var x = document.getElementById(id);
if (x.style.display === "block") {
x.style.display = "none";
} else {
x.style.display = "block";
}
}
</script>
</body>
</html>