Études et améliorations de méta-modèles PINN pour la simulation de champ magnétique – M2

[MSengler]

Études et améliorations de méta-modèles PINN pour la simulation de champ magnétique – M2

Étudiante : Marie Sengler
Encadrant académique : Julie Tryoen, Flore Molenda
Structure d'accueil : Thales AVS Vélizy
Période : février-juillet 2025 (6 mois)

Contexte & Objectifs

Mon stage porte sur le développement d’un métamodèle de substitution basé sur les PINN (Physics-Informed Neural Networks), qui utilisent un réseau de neurones pour approximer la solution d’une équation aux dérivées partielles (EDP). Dans cette approche, la fonction de perte est construite à partir des résidus de l’EDP, des conditions aux limites, ainsi que, le cas échéant, des conditions initiales ou d’interface entre matériaux. Cette méthode présente l’avantage de ne pas nécessiter de maillage et offre un intérêt particulier pour la paramétrisation ( caractéristiques physiques et géométriques du modèle).

L’un des objectifs de l’entreprise est de développer un métamodèle PINN paramétrique pour des études d'optimisation et de quantification d’incertitudes du design des tubes hyperfréquences fabriqués par l’entreprise. Les travaux se concentrent plus particulièrement sur les modèles magnétostatiques représentant un réseau d’aimants et de pièces polaires. Ces modèles peuvent en effet être très coûteux à évaluer par les méthodes classiques d'éléments finis, en particulier en 3D.
Plusieurs cas tests académiques de simulations magnétostatiques, incluant un aimant et une pièce polaire, ont déjà été implémentés par l’équipe.

Les objectifs de mon stage sont les suivants :

• optimiser les réseaux en sélectionnant de bons hyperparamètres afin de réduire l’erreur relative sur ces cas tests ;
• introduire la variation de la géométrie des pièces, en complément de la paramétrisation des caractéristiques physiques de l’aimant.

Le graphique ci-dessous illustre un des cas tests : un aimant et une pièce polaire plongés dans le vide. Les grandeurs étudiées sont le potentiel $A$, ainsi que les composantes du champ d’induction magnétique $B_x$ et $B_y$, correspondant aux dérivées partielles de $A$ ($B=\text{rot}A$).

Méthodologie

• Outils utilisés : Python, PyTorch et NVIDIA PhysicsNeMo
• Étapes clés :

1. Étudier la littérature scientifique sur les PINN en magnétostatique et en général.
2. Réaliser des tests préliminaires sur différents hyperparamètres (architecture, optimiseur, etc.).
3. Établir des plans d’expériences : lister les hyperparamètres, définir les différentes valeurs possibles et organiser les tests.
4. Développer un script automatisant le lancement de l’ensemble des tests.
5. Exécuter les tests.
6. Analyser les résultats et identifier les plus pertinents.
7. Introduire la paramétrisation des caractéristiques de l’aimant ainsi que la variation de la géométrie des pièces (et rechercher l'amélioration de la précision des résultats dans ce cas également).

Résultats

Après avoir réalisé l’ensemble des cas tests, j’ai pu améliorer la précision sur tous les cas tests étudiés.

• Dans le cas avec seulement un aimant, l’erreur relative $L^2$ sur le potentiel $A$ a été divisée par 50 entre la configuration initiale et la configuration finale.
• Dans le cas incluant une pièce polaire, l’erreur relative $L^2$ a été réduite par un facteur 5.

L’erreur résiduelle se concentre principalement aux coins des pièces, à l’intersection entre l’aimant, la pièce polaire et le vide.
Dans le cas de la paramétrisation de la géométrie, il a fallu prendre en compte dans l'apprentissage quelques solutions issues des éléments finis pour un jeu de paramètres donné, afin de guider le PINN et d’obtenir des résultats plus précis et comparables au cas non paramétrique.

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