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- oeasy Python 0696
- 这是 oeasy 系统化 Python 教程，从基础一步步讲，扎实、完整、不跳步。愿意花时间学，就能真正学会。
本教程同步发布在： 

     个人网站： `https://oeasy.org` 
     蓝桥云课： `https://www.lanqiao.cn/courses/3584` 
     GitHub： `https://github.com/overmind1980/oeasy-python-tutorial` 
     Gitee： `https://gitee.com/overmind1980/oeasypython` 
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几何_解析几何_笛卡尔_数形结合_营造法式

回忆

  • 上次研究了建筑图纸的历史
    • 了解了 几何的演化过程
术语 英文全称 核心定义 与你的研究关联
欧几里得几何 Euclidean Geometry 以5条公设/公理为基础，研究平直空间的几何体系 文艺复兴建筑、米开朗基罗手稿、线性透视的底层理论根基
解析几何 Analytic Geometry 用坐标系、代数方程研究几何的学科 现代CAD底层运算、建筑结构力学的几何量化工具
画法几何 Descriptive Geometry 用二维投影表达三维形体的工程几何学科 建筑工程制图、CAD图纸的核心理论，蒙日系统化的应用学科
平面几何 Plane Geometry 研究平面图形（点、线、圆、多边形）的几何 建筑草图、透视基础的入门内容
立体几何 Solid Geometry 研究三维形体（柱、锥、球、穹顶）的几何 米开朗基罗圣彼得大教堂穹顶、防御工事的三维设计基础
综合几何 Synthetic Geometry 纯几何推理、尺规作图的几何体系 文艺复兴建筑师的手工绘图、手稿创作方式
  • 解析几何 是 怎么来的？

图片描述

起源

  • 1596 年 3 月 31 日
    • 法国 拉海镇
    • 笛卡尔 /ˈdeɪkɑːt/
    • 出生时体重极轻
    • 哭声微弱
  • 母亲一年多后去世
    • 他也被传染
    • 落下终身干咳与苍白面色
    • 20 岁前见过的医生都断定他会 “早年夭折”
  • 父亲 是 小不列颠法官
    • 取名 “勒内”
      • René
      • 法语意为 “重生”

图片描述

  • 他童年玩伴不多
    • 常独自发呆
    • 还总提
      • 天空为什么是蓝的
      • 石头为什么会落地
  • 父亲戏称他为 “小哲学家”

童年

  • 笛卡尔 小时候 目睹
    • 布鲁诺因 “异端” 被火刑处死

图片描述

  • 从小对教会权威与传统知识保持警惕
    • 埋下 怀疑一切 的思想种子

当时的课程

  • 1604 年
    • 8 岁的笛卡尔进入耶稣会创办的拉弗莱什公学
      • 上午人文（拉丁文、文学、修辞）
      • 下午科学（数学、物理、天文）
  1. 亚里士多德（2000 年老权威）
    • 万物有目的
    • 重物下落是“想回家”
    • 天体完美圆周运动
    • 一切知识 靠 观察+逻辑+权威

所有人从小学到大：

亚里士多德说的就是真理。

图片描述

  1. 托勒密天文学

    • 地球是宇宙中心
    • 太阳绕着地球转
    • 教会钦定
      • 谁敢质疑直接烧死

  2. 经院哲学

    • 信仰第一
    • 先信上帝
    • 无需思考
    • 圣经说啥就是啥
      • 不能怀疑
      • 只能解释

世界“塌了”

  1. 哥白尼

    • 1543 年《天体运行论》
    • 地球只是一颗普通行星
    • 地球不是中心！

  2. 开普勒

    • 行星不是完美圆周！
    • 是椭圆！
    • 亚里士多德直接被打脸

  3. 伽利略

    • 用望远镜看宇宙！
    • 月亮不是完美球体，有坑！
    • 太阳有黑点！

图片描述

  • 宗教分裂：三十年战争
    • 天主教 vs 新教
    • 打得尸横遍野
    • 连信仰都不可靠了

冲突

  • 两边说的完全相反！
    • 旧权威：亚里士多德、托勒密、教会
    • 新发现：哥白尼、伽利略、开普勒

图片描述

  • 几千年来信以为真的东西
    • 可能 是错的
    • 到底该相信什么？

上学

  • 他对 经院哲学 感到厌烦
    • 痴迷数学 的 确定性

图片描述

  • 因他体质孱弱
    • 校长特许他免上 5 点的晨课
    • 拉丁文这些的都翘了
    • 在床上读书思考

近大远小

  • 笛卡尔躺床上 发现
    • 树木 近大远小

图片描述

  • 笛卡尔直接得出一个石破天惊的结论：

我们看到的

不是事物本身，

只是感官给我们的假象！

  • 感官 不可靠
    • 那么 由感官而训练出来的观念、宗教
    • 更不可靠

困惑

  • 笛卡尔 写过独白

我学的一切

都是错的

权威会骗人

感官会骗人

梦和现实分不清

图片描述

  • 没有任何东西是绝对可靠的！

要怀疑一切呢

锦州口音 那种感觉

  • 那还有什么可靠呢？

我思故我在

  • 怀疑一切
    • 只有怀疑这个事情
      • 不可再怀疑
    • 怀疑、思考推理 是可靠的

图片描述

  • 这就是

我思故我在

数学

  • 一次 课堂上
    • 老师 用几何证明 “三角形内角和”
  • 他认为 几何图形 依赖视觉不可靠
    • 当场 用代数符号 直接进行推导
    • 并得到了答案

图片描述

  • 他 认识到

    • 严格推理的可靠
    • 也是他 数形结合 的最早尝试

  • 还是那句话

我思故我在

绝对可靠的

  • 我思故我在证明了
    • 正在思考的 我必然存在
  • 而这个思考的 我
    • 所进行的清晰、明确的推理
    • 就是可靠的
    • 1 + 1 永远等于 2
    • 不用依赖于任何感官

图片描述

  • 我存在 →
    • 我的理性推理可靠 →
    • 数学与几何真理可靠

几何

  • 眼睛可以骗我

    • 世界可以是假的

  • 但我正在思考这件事

    • 绝对真！

图片描述

  • 我思故我在（Cogito, ergo sum）
    • 这是唯一不可怀疑的起点
    • 一切在此基础上建立

subject

  • subject
    • sub 在下面
    • ject 放置、投掷
    • 在下面放置的
      • 我在思考这件事
      • 主观的

图片描述

  • 正在思考的我
    • 就是主观的

图片描述

  • 主观 是一切的起点

object

  • object
    • ob 在对面
    • ject 放置
    • object 在对面放置的

图片描述

  • 在主观对面的
    • 作为客体的客观世界

毕业

  • 1612 年毕业时
    • 他成绩优异

图片描述

  • 笛卡尔写下

我学到的只有怀疑

心灵 vs 身体

  • 笛卡尔 把身体和心灵分开
    • 身心二元论
对比维度 心灵（mind） 身体（body）
本质属性 思考、意识、自由意志 血肉、机械、运动
空间特性 不占空间 占空间（occupy）
可分性 不可分割 可以拆分
核心特征 思维、精神、主观 物
  • 核心结论：

心灵和物质是两种完全不同的「实体」

  • 这叫实体二元论。

    • 把**“主观意识”和“客观世界”**彻底切开

  • 他想要追寻精神世界

从 “躲社交” 到 “找答案”

  • 1616 年
    • 20 岁的笛卡尔
      • 按父亲意愿
      • 从 普瓦捷大学法学 毕业
    • 拿到 律师资格
    • 却对 法律 毫无兴趣

图片描述

  • 巴黎的社交圈
    • 在笛卡尔的眼里
      • 只是感官的刺激
    • 为躲 朋友拉他参加舞会

游历四方

  • 1617 年
    • 21 岁的他做出奇特决定 — 参军
    • 想在军营里图清静
    • 先加入荷兰拿骚的工程兵部队
    • 后转投巴伐利亚军队
  • 他在布雷达服役时结识荷兰数学家贝克曼
    • 贝克曼让他计算 “自由落体距离与时间的关系”
    • 他用代数推导得出 s=kt²
    • 发现 “几何轨迹能转化为代数方程”

图片描述

  • 他大受震撼
    • 他们持续通信

图片描述

  • 笛卡尔决心 “用数学统一所有科学”

三个梦

  • 1619 年冬
    • 在德国乌尔姆的军营
    • 他因天冷躲进有火炉的小屋
    • 做了三个 “神启梦”
      1. 被风暴吹到安全地
      2. 得到自然宝库的钥匙
      3. 翻开诗集见 “我该选哪条路”

图片描述

  • 他视之为天命

蜘蛛

  • 1619 年 冬天

    • 荷兰
    • 笛卡尔
    • 住在军营里身体
    • 躺在床上思考

  • 盯着天花板看

  • 房顶上有一只蜘蛛在爬

    • 一会儿爬到墙角
    • 一会儿爬到横梁
    • 一会儿停在中间

  • 笛卡尔脑子里突然冒出一个问题

    • 怎么用最简单的方法
    • 准确说出蜘蛛现在在哪里？

图片描述

  • 先选墙角当作起点
    • 后来叫 原点 (0,0)
    • 从墙角出发，有两条互相垂直的边：
      • 一条向右 → x 轴
      • 一条向上 → y 轴
    • 蜘蛛的位置
      • 可以用
        • 走几步右
        • 走几步上
      • 来表示
        • 向右 3 格
        • 向上 4 格
        • 位置就是 (3, 4)
  • 蜘蛛爬过的路线
    • 不就是一串点吗？
    • 一串点，不就是一串（x,y）吗？
    • 一串（x,y）
    • 不就是一个方程吗？
  • 于是他得出惊天结论
    • 几何图形 ↔ 代数方程
    • 图形可以用方程算
    • 方程可以画成图形
  • 这就是
    • Coordinate Geometry 坐标几何
    • Analytic Geometry 也叫解析几何的诞生

隐居荷兰

  • 笛卡尔干了一件大事

    • 把不可靠的视觉 → 换成可靠的数学
    • 也就是：
      • 肉眼看图形 → 不可靠
      • 数学坐标 + 方程 → 绝对可靠
      • 这就是解析几何诞生的真正哲学根源

  • 他要偷偷 把这个事情研究清楚

    • 尤其要避开教会的耳目

图片描述

  • 1628 年
    • 笛卡尔为避开法国教会压力
    • 移居荷兰
    • 开启 20 年的思想黄金期
    • 20 年间搬了 24次
    • 只为躲社交与教会眼线
    • 有时甚至用化名
    • 怕著作被定为异端

新阶层

  • 父亲本希望他接贵族的班

    • 但是他完全没有做封建贵族的意思
    • 父亲一死就把采地卖光
    • 将所得款项投资
    • 靠红利过活了

  • 笛卡尔 卖掉继承的土地

    • 换成资金投资
    • 每年有六七千法郎收入
    • 足够他潜心研究

图片描述

  • 笛卡尔自觉地
    • 在思想上、社会上、以至经济上
    • 都变成了新兴的资产阶级

方法论

  • 1637 年
    • 他匿名出版《方法论》
    • 附录《几何学》《折光学》《气象学》
    • 核心突破在《几何学》

图片描述

  • 他用两条垂直直线作基准
    • 以线段长度定义坐标
    • 把圆锥曲线写成代数方程
    • 还提出
      • 任一曲线对应一方程
      • 任一方程对应一曲线
  • 他的坐标系无箭头
    • 用线段长度而非正负值
    • 符号体系也不如现代完善
    • 后来由欧拉等人优化

直线的描述

  • 笛卡尔 可以用公式描述的 几何图形
    • 一次（直线）
    • 二次（圆锥曲线）
    • 三次及高阶初等代数曲线 三类
图形类型 笛卡尔原始研究特征 现代标准公式 核心说明
任意直线（含平行线、相交线、垂线） 以斜坐标基线为基准，用线段的加减/比例关系表示直线上点的位置，无标准化方程形式；通过固定夹角的线段确定直线方向 $ax+by+c=0$（$a、b$不同时为0） 笛卡尔坐标法的核心载体，是所有几何图形公式化的基础；虽其原始坐标系为斜坐标，但可通过线段比例表示垂线的特殊关系

二次方程——圆锥曲线（笛卡尔核心研究成果）

  • 笛卡尔用统一的二次方程打破了
    • 古希腊对圆锥曲线的孤立研究
    • 通过线段长度的平方、乘积关系转化为代数等式
    • 实现了圆、椭圆、抛物线、双曲线的代数统一表示

图片描述

图形类型 笛卡尔原始研究特征 现代标准公式（平面直角坐标系） 核心说明
圆 以定点为中心，将“到定点的线段长度为定值”转化为二次等式，无交叉项 标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
一般式：$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$（$D^2+E^2-4F>0$）		 二次曲线的特殊形式，笛卡尔将其归为“二次项系数相等的二次方程曲线”
椭圆 用“到两定点的线段长度和为定值”转化为二次等式，二次项系数同号且不相等 标准式：$\frac{(x-a)^2}{m^2}+\frac{(y-b)^2}{n^2}=1$（$m≠n>0$） 笛卡尔通过调整二次方程参数，区分椭圆与圆的代数特征
抛物线 仅含一个变量的二次线段关系，另一个为一次线段关系，无常数项的特殊二次形式 标准式：$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）/ $x=ay^2+by+c$（$a≠0$） 笛卡尔定义为“仅有一个二次项的二次曲线”，是一次与二次曲线的过渡形态
双曲线 用“到两定点的线段长度差为定值”转化为二次等式，二次项系数异号 标准式：$\frac{(x-a)^2}{m^2}-\frac{(y-b)^2}{n^2}=1$（$m、n>0$） 笛卡尔重点研究了其渐近线，将“渐近线与基线的比例关系”与方程特征关联

三次及高阶初等代数曲线（笛卡尔拓展研究）

  • 笛卡尔在一次、二次曲线基础上
    • 探索了三次、四次多项式方程对应的高阶曲线
    • 成为近代高阶曲线研究的开端
图形类型 方程次数 笛卡尔原始研究特征 现代标准公式 核心说明
立方抛物线 三次 最简的三次线段关系，单变量三次、单变量一次，是笛卡尔研究高阶曲线的基础模型 $y=ax^3+bx$（$a≠0$，最简形式$y=ax^3$） 笛卡尔首次将其纳入代数公式描述，是最基础的三次曲线
蔓叶线 三次 古希腊已发现的几何曲线，笛卡尔首次为其建立代数方程，通过“线段的比例与三次乘积”表示曲线特征 $y^2=\frac{x^3}{a-x}$（$a$为常数） 笛卡尔实现了经典几何曲线的代数公式化，验证了坐标法的通用性
笛卡尔叶形线 三次 笛卡尔自主推导的三次曲线，通过“两条斜坐标线段的三次和”与“乘积”建立等式，是其高阶曲线研究的标志性成果 $x^3+y^3=3axy$（$a$为常数） 以笛卡尔命名的经典曲线，体现了其“几何特征↔代数方程”的核心思想
蚌线 三次/四次 通过调整方程参数，区分不同形态的蚌线，用“定点到定直线的线段乘积”表示曲线特征 一般式：$(x-a)^2(x^2+y^2)=b^2x^2$（$a、b$为常数，依参数为三次/四次） 笛卡尔通过参数调整，实现了同一类曲线不同形态的公式化区分

死于 “早起”

  • 1649 年，53 岁的笛卡尔收到瑞典女王克里斯蒂娜的邀请
    • 女王 27 岁，热爱哲学
    • 想让他当宫廷哲学家
    • 每周三次清晨 5 点授课
    • 这对习惯中午起床的笛卡尔是致命要求
  • 他本想拒绝
    • 却被女王派军舰接去斯德哥尔摩
    • 抵达时正值北欧严冬
    • 他租住的公寓没暖气
    • 每天凌晨 4 点就得起床
    • 穿过寒风去皇宫
  • 1650 年 1 月
    • 他为给法国大使送文件
    • 在雪地里步行半小时
    • 当晚就发烧，患上肺炎
    • 医生用放血疗法
    • 反而加重病情
  • 2 月 11 日
    • 他在病床上握着未完成的手稿离世
    • 遗言是 “我的灵魂该上路了”
    • 享年 54 岁
    • 他死后 16 年

尾声

  • 遗骸被运回法国
    • 几经辗转
    • 最终安葬在巴黎先贤祠
    • 头骨却被一位收藏家偷走
  • 直到 19 世纪才归位
    • 成为科学史上的一段奇谈

身心对立

  • 笛卡尔只是分开身心
    • 后人把它变成对立：
      • 要么世界只有物质（唯物）
      • 要么世界只有精神（唯心）

肉体 vs 灵魂

中文 英文 对应哲学 对应计算机
肉体 Body 身体实体 硬件机体
灵魂 Mind 心灵思维 程序灵魂

唯物 vs 唯心

中文 英文 对应哲学 对应计算机
唯物 Materialism 物质 硬件
唯心 Idealism 精神 软件

客观 vs 主观

中文 英文 对应哲学 对应计算机
客观 Objective 外在世界 物理事实
主观 Subjective 内在意识 逻辑信息

理性 vs 感性

中文 英文 对应哲学 对应计算机
理性 Rational 理智思考 算法逻辑
感性 Emotional 情感体验 感知输入

计算机软件

  • 笛卡尔说：

动物和人体，就是一台自动机器。

图片描述

  • 这条思路一路走下去：

    • 世界是机械的
    • 身体是机械的
    • 万物可拆、可算、可建模

  • 把“思考”也变成机械过程

    • 就是今天的计算机思维

软件 和 硬件

身心二元论 = 身体 ⇄ 心（硬件 ⇄ 软件）对照表

身体（Body） 心 / 灵魂（Mind / Soul）
对应：硬件 对应：软件/系统/灵魂
电脑、手机、机器 系统、程序、数据、智能
物质的、占空间、有形 非物质、不占空间、无形
可触摸、可拆解、可损坏 不可触摸、不可拆解、不会“物理损坏”
被动承载、提供载体 主动指挥、发出指令
存在基础、感知器官 思考、意识、意志、感受
没有心，只是一堆物质 没有身体，也可被想象存在
受物理规律支配 受逻辑、思想、精神规律支配

总结 🤔

  • 这次我们 回忆了
    • 笛卡尔的人生
      • 从童年多病
      • 到探索世界
      • 最终 我思故我在
  • 用推理
    • 把世界一分为二
      • 心物二元
    • 意识和物质 总要分出先后
      • 唯物唯心
      • 一直到 软件、硬件

图片描述

  • 笛卡尔发明的 解析几何
    • 把空间中的 几何曲线
    • 量化成 数值和公式
  • blender 是 如何 量化物体的 呢？🤔
  • 我们下次再说！👋
  • 本文来自 oeasy Python 系统教程。
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