fill probtheory exam list from 12th lecture

Author: pelmesh619

conspects/probtheory/probtheory_superconspect.pdf

@@ -11,6 +11,8 @@
 \begin{document}
     \section{Лекция 12}
 
+    \hypertarget{jointdistribution}{}
+
     \subsection{Совместное распределение случайных величин}
 
     Пусть $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ заданы на одном и том же вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, p)$
@@ -30,6 +32,8 @@
 
     $(\Real^n, \mathcal{B}(\Real^n), P(B))$
 
+    \hypertarget{jointdistributionfunction}{}
+
     \subsubsection{Функция распределения}
 
     \Def Функцией совместного распределения случайных величин $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ называется функция 
@@ -43,6 +47,7 @@
         \includegraphics[width=0.55\textwidth]{probtheory/images/probtheory_2024_11_19_1}
     \end{center}
 
+    \hypertarget{jointdistributionfunctionproperties}{}
 
     \subsubsection{Свойства функции распределения}
 
@@ -60,6 +65,8 @@
         \item $P(x_1 \leq \xi < x_2, y_1 \leq \eta < y_2) = F_{\xi, \eta}(x_2, y_2) - F_{\xi, \eta}(x_2, y_1) - F_{\xi, \eta}(x_1, y_2) + F_{\xi, \eta}(x_1, y_1)$
     \end{enumerate}
 
+    \hypertarget{randomvariablesindependence}{}
+
     \subsection{Независимость случайных величин}
 
     \Def Случайные величины $\xi_1, \dots, \xi_n$ независимы в совокупности, если для любого набора Борелевских множеств из
@@ -81,6 +88,8 @@
 
     Под независимыми величинами будем понимать независимые в совокупности
 
+    \hypertarget{discretesystemoftwovariables}{}
+
     \subsection{Дискретная система двух случайных величин}
 
     \Def Случайные величины $\xi, \eta$ имеют совместное дискретное распределение, если случайный вектор $(\xi, \eta)$
@@ -141,6 +150,8 @@
 
     $p_{11} = 0.1 \neq 0.12 = p_1 \cdot q_1 \qquad \Longrightarrow \xi, \eta$ - зависимы
 
+    \hypertarget{continuoussystemoftwovariables}{}
+
     \subsection{Абсолютно непрерывная система двух случайных величин}
 
     \Def Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, если
@@ -154,6 +165,7 @@
         \includegraphics[width=0.55\textwidth]{probtheory/images/probtheory_2024_11_19_2}
     \end{center}
 
+    \hypertarget{densityfunctionpropertiesincontinuoussystem}{}
 
     \underline{Свойства} плотности:
 

probtheory/probtheory_2024_11_19.tex

@@ -632,8 +632,93 @@ \section{X. Программа экзамена в 2024/2025}
     \hyperlink{lawofbignumberskolmogorov}{ЗБЧ Колмогорова}: В условиях теоремы Хинчина $\frac{\xi_1 + \dots + \xi_n}{n} \overset{\text{п.н.}}{\longrightarrow} E\xi_1$
 
     \item Совместные распределения случайных величин. Функция совместного распределения, ее свойства. Независимость случайных величин.
+    
+    \hyperlink{jointdistribution}{Совместное распределение}: Случайным вектором $\vec{\xi} = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n)$ называется упорядоченный набор случайных величин, заданных
+    на одном вероятностном пространстве
+
+    Случайный вектор задает отображение $(\xi_1, \dots, \xi_n) (\omega) : \Omega \longrightarrow \Real^n$
+
+    \hyperlink{jointdistributionfunction}{Функция совместного распределения}: Функцией совместного распределения случайных величин $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ называется функция 
+    $F_{\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n}(x_1, x_2, \dots, x_n) = P(\xi_1 < x_1, \xi_2 < x_2, \dots, \xi_n < x_n)$
+
+    \hyperlink{jointdistributionfunctionproperties}{Свойства}: 
+
+    \begin{enumerate}
+        \item $0 \leq F_{\xi, \eta}(x, y) \leq 1$
+        \item $F_{\xi, \eta}(x, y)$ - неубывающая по каждому аргументу
+        \item $\lim_{x \to -\infty} F_{\xi, \eta}(x, y) = \lim_{y \to -\infty} F_{\xi, \eta}(x, y) = 0, $
+        $\lim_{\substack{x \to \infty \\ y \to \infty}} F_{\xi, \eta}(x, y) = 1$
+
+        \item Восстановление маргинального (частного) распределения: 
+        $\lim_{x \to \infty} F_{\xi, \eta}(x, y) = F_\eta(y)$, и наоборот - $\lim_{y \to \infty} F_{\xi, \eta}(x, y) = F_\xi(x)$
+
+        \item $F_{\xi, \eta}(x, y)$ - непрерывна слева по каждому аргументу
+
+        \item $P(x_1 \leq \xi < x_2, y_1 \leq \eta < y_2) = F_{\xi, \eta}(x_2, y_2) - F_{\xi, \eta}(x_2, y_1) - F_{\xi, \eta}(x_1, y_2) + F_{\xi, \eta}(x_1, y_1)$
+    \end{enumerate}
+
+    \hyperlink{randomvariablesindependence}{Независимость величин}: Случайные величины $\xi_1, \dots, \xi_n$ независимы в совокупности, если для любого набора Борелевских множеств из
+    $\mathcal{B}(\Real^n)$, $B_1, B_2, \dots, B_n$ верно $p(\xi_1 \in B_1, \xi_2 \in B_2, \dots, \xi_n \in B_n) = p(\xi_1 \in B_1) \cdot p(\xi_2 \in B_2) \cdot \dots \cdot p(\xi_n \in B_n)$
+
+    Случайные величины $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ попарно независимы, если независимы любые две из них
+
     \item Дискретная система двух случайных величин. Закон совместного распределения. Маргинальные распределения.
+
+    \hyperlink{discretesystemoftwovariables}{Дискретная система}: Случайные величины $\xi, \eta$ имеют совместное дискретное распределение, если случайный вектор $(\xi, \eta)$
+    принимает не более, чем счетное число значений, то есть существует конечный или счетный набор пар чисел $(x_i, y_i)$, 
+    таких что $P(\xi = x_i, \eta = y_i) > 0, \sum_{i, j} P(\xi = x_i, \eta = y_i) = 1$
+    
+    Таким образом двумерная дискретная случайная величина задается законом распределения - таблице вероятностей
+
+    \begin{tabular}{c|c|c|c|c}
+        $\xi \backslash \eta$ & $y_1$ & $y_2$ & $\dots$ & $y_m$ \\
+        \hline
+        $x_1$ & $p_{11}$ & $p_{12}$ & $\dots$ & $p_{1m}$ \\
+        \hline
+        $x_2$ & $p_{21}$ & $p_{22}$ & $\dots$ & $p_{2m}$ \\
+        \hline
+        $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ & $\vdots$ \\
+        \hline
+        $x_n$ & $p_{n1}$ & $p_{n2}$ & $\dots$ & $p_{nm}$ \\
+    \end{tabular}
+
+    Зная общий закон распределения, можно восстановить частное (маргинальное) распределение по формулам: 
+
+    $p_i = \sum_{j = 1}^m p_{i, j} \qquad q_j = \sum_{i = 1}^n p_{i, j}$
+
     \item Абсолютно непрерывная система двух случайных величин. Плотность совместного распределения, ее свойства.
+    
+    \hyperlink{continuoussystemoftwovariables}{Непрерывная система}: Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, если
+    $\exists f_{\xi, \eta}(x, y)$, такая что $\forall B \in \mathcal{B}(\Real^2) \ P((\xi, \eta) \in B) = \iint_B f_{\xi, \eta}(x, y) dxdy$
+
+    Функцию $f_{\xi, \eta}(x, y)$ будем называть функцией плотности совместного распределения случайных величин $\xi$ и $\eta$
+
+    \hyperlink{densityfunctionpropertiesincontinuoussystem}{Свойства}: 
+
+    
+    \begin{enumerate}
+        \item $f_{\xi, \eta}(x, y) \leq 0$
+        \item Условие нормировки: $\iint_{\Real^2} f_{\xi, \eta}(x, y) dxdy = 1$
+        \item $F_{\xi, \eta} = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f_{\xi, \eta}(x, y) dydx$
+
+        \item $f_{\xi, \eta}(x, y) = \frac{\partial^2 F_{\xi, \eta}(x, y)}{\partial x \partial y}$
+        
+        \item Если случайные величины $\xi, \eta$ имеют абсолютно непрерывное совместное распределение с плотностью $f(x, y)$, 
+        то маргинальное распределение величин $\xi, \eta$ также имеют абсолютно непрерывное распределение
+        с плотностями $f_\xi(x) = \int_{-\infty}^\infty f_{\xi, \eta}(x, y) dy, f_\eta(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{\xi, \eta}(x, y) dx$
+
+        \item Так как вероятность попадания в Борелевские множества полностью задается функцией распределения, 
+        то условие независимости случайных величин эквивалентно следующему:
+
+        $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ независимы, если функция общего распределения распадается в произведение 
+        отдельных функцию распределения
+    
+        $F_{\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n}(x_1, x_2, \dots, x_n) = F_{\xi_1}(x_1) \cdot F_{\xi_2}(x_2) \cdot \dots \cdot F_{\xi_n}(x_n)$
+
+        \item \textit{Равносильное определение}: абсолютно непрерывные случайные величины $\xi_1, \dots, \xi_n$ независимы в совокупности тогда и только тогда, 
+        когда плотность совместного распределения $f_{\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n}(x_1, x_2, \dots, x_n) = f_{\xi_1}(x_1) \cdot f_{\xi_2}(x_2) \cdot \dots \cdot f_{\xi_n}(x_n)$
+    \end{enumerate}
+
     \item Функции от двух случайных величин. Теорема о функции распределения. Формула свертки.
     \item Суммы стандартных распределений, устойчивость по суммированию (биномиальное, Пуассона, стандартное нормальное).
     \item Условные распределения и условные математические ожидания. Случаи дискретной и абсолютно непрерывной систем двух случайных величин.