[feat] 채팅방 마지막 세부사항 구현

## #️⃣ 요청 유형

> 해당되는 항목을 선택해주세요.
- [ ] 새로운 기능 추가
- [ ] 기존 기능 개선
- [ ] 성능 개선

## #️⃣ 어떤 기능인가요?

> 새로고침 해도 해당 탭 유지 등 디테일한 세부 사항 마무리

## #️⃣ 예상 브랜치 이름
- feat/chat-details-last

## #️⃣ 이 기능이 필요한 이유는 무엇인가요?(선택)

> 이 기능이 왜 필요한지, 또는 개선/성능 향상이 필요한 이유에 대해 설명해주세요.

## #️⃣ 작업 상세 내용

- [ ] TODO

## 📎 참고할만한 자료 (선택)

> 관련 문서, 스크린샷, 또는 예시 등이 있다면 여기에 첨부해주세요.
