정수 구간 집합에서 원소간 동등성을 따지는 정의

[bongjunj]

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장봉준

Question

HW3 3번 문제를 풀다가 이상한 점을 느껴 질문 올립니다.

3번 문제는 정수 구간의 집합을 정의하고 있습니다.

$$ \mathbb{I} = \{ [a, b] | a, b \in \mathbb{Z} \cup \{ -\infty, \infty \} \} $$

그리고 Partial Order $\sqsubseteq$과 함께 CPO가 정의됩니다. (증명이 되었다고 가정)
lecture3 슬라이드에 CPO의 정의와 그 보조정리를 보면 CPO는 the least element를 가진다고 나옵니다.

그래서 CPO는 유일한 최소 원소를 가진다는 뜻인데, 사실 집합 $\mathbb{I}$의 정의를 보면 the least element가 아니라 least elements가 존재합니다. 예를 들어, $[4, 3], [5, 2], \dots$ 등이 있습니다.
이 보조 정리가 성립하려면 정수 구간 집합을 정의할 때 두 원소(정수 구간)의 동등성을 겉모습(syntactically)만 보고 판단하면 안되고 의미를 따져 (semantically) 판단해야 하는 것 같은데, 이 정의가 빠져있는 것 같습니다.
생각해보면 $\wp(S), \mathbb{Z}, \mathbb{N}$ 이런 집합들은 겉모습만 보고 두 원소가 같은 것을 판단해도 의미를 따져 판단하는 것과 다를바가 없는데 정수 구간 집합은 그렇지 않은 것 같습니다.

[duncan020313]

안녕하세요. 집합 $I$의 정의를 다음과 같이 변경합니다:

$$I = \lbrace[a, b] \mid a, b \in \mathbb{Z} \cup \lbrace-\infty, \infty \rbrace, \text{ and } a \le b\rbrace \cup \lbrace \bot \rbrace$$

위 정의에 따라 최소 원소는 $\bot$으로 유일합니다. 이 점 고려하여 문제 풀이 작성해 주세요.

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Hello, we are modifying the definition of set I as follows:

$$I = \lbrace[a, b] \mid a, b \in \mathbb{Z} \cup \lbrace-\infty, \infty \rbrace, \text{ and } a \le b\rbrace \cup \lbrace \bot \rbrace$$

According to the above definition, the least element is uniquely $\bot$. Please write the problem solution considering this point.