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Author: yanglbme

solution/0700-0799/0746.Min Cost Climbing Stairs/README.md

@@ -65,7 +65,177 @@ tags:
 
 <!-- solution:start -->
 
-### 方法一：动态规划
+### 方法一：记忆化搜索
+
+我们设计一个函数 $textit{dfs}(i)$，表示从第 $i$ 个阶梯开始爬楼梯所需要的最小花费。那么答案为 $\min(\textit{dfs}(0), \textit{dfs}(1))$。
+
+函数 $\textit{dfs}(i)$ 的执行过程如下：
+
+-   如果 $i \ge \textit{len(cost)}$，表示当前位置已经超过了楼梯顶部，不需要再爬楼梯，返回 $0$；
+-   否则，我们可以选择爬 $1$ 级楼梯，花费为 $\textit{cost}[i]$，然后递归调用 $\textit{dfs}(i + 1)$；也可以选择爬 $2$ 级楼梯，花费为 $\textit{cost}[i]$，然后递归调用 $\textit{dfs}(i + 2)$；
+-   返回两种方案中的最小花费。
+
+为了避免重复计算，我们使用记忆化搜索的方法，将已经计算过的结果保存在数组或哈希表中。
+
+时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是数组 $\textit{cost}$ 的长度。
+
+<!-- tabs:start -->
+
+#### Python3
+
+```python
+class Solution:
+    def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
+        @cache
+        def dfs(i: int) -> int:
+            if i >= len(cost):
+                return 0
+            return cost[i] + min(dfs(i + 1), dfs(i + 2))
+
+        return min(dfs(0), dfs(1))
+```
+
+#### Java
+
+```java
+class Solution {
+    private Integer[] f;
+    private int[] cost;
+
+    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
+        this.cost = cost;
+        f = new Integer[cost.length];
+        return Math.min(dfs(0), dfs(1));
+    }
+
+    private int dfs(int i) {
+        if (i >= cost.length) {
+            return 0;
+        }
+        if (f[i] == null) {
+            f[i] = cost[i] + Math.min(dfs(i + 1), dfs(i + 2));
+        }
+        return f[i];
+    }
+}
+```
+
+#### C++
+
+```cpp
+class Solution {
+public:
+    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
+        int n = cost.size();
+        int f[n];
+        memset(f, -1, sizeof(f));
+        auto dfs = [&](auto&& dfs, int i) -> int {
+            if (i >= n) {
+                return 0;
+            }
+            if (f[i] < 0) {
+                f[i] = cost[i] + min(dfs(dfs, i + 1), dfs(dfs, i + 2));
+            }
+            return f[i];
+        };
+        return min(dfs(dfs, 0), dfs(dfs, 1));
+    }
+};
+```
+
+#### Go
+
+```go
+func minCostClimbingStairs(cost []int) int {
+	n := len(cost)
+	f := make([]int, n)
+	for i := range f {
+		f[i] = -1
+	}
+	var dfs func(int) int
+	dfs = func(i int) int {
+		if i >= n {
+			return 0
+		}
+		if f[i] < 0 {
+			f[i] = cost[i] + min(dfs(i+1), dfs(i+2))
+		}
+		return f[i]
+	}
+	return min(dfs(0), dfs(1))
+}
+```
+
+#### TypeScript
+
+```ts
+function minCostClimbingStairs(cost: number[]): number {
+    const n = cost.length;
+    const f: number[] = Array(n).fill(-1);
+    const dfs = (i: number): number => {
+        if (i >= n) {
+            return 0;
+        }
+        if (f[i] < 0) {
+            f[i] = cost[i] + Math.min(dfs(i + 1), dfs(i + 2));
+        }
+        return f[i];
+    };
+    return Math.min(dfs(0), dfs(1));
+}
+```
+
+#### Rust
+
+```rust
+impl Solution {
+    pub fn min_cost_climbing_stairs(cost: Vec<i32>) -> i32 {
+        let n = cost.len();
+        let mut f = vec![-1; n];
+
+        fn dfs(i: usize, cost: &Vec<i32>, f: &mut Vec<i32>, n: usize) -> i32 {
+            if i >= n {
+                return 0;
+            }
+            if f[i] < 0 {
+                let next1 = dfs(i + 1, cost, f, n);
+                let next2 = dfs(i + 2, cost, f, n);
+                f[i] = cost[i] + next1.min(next2);
+            }
+            f[i]
+        }
+
+        dfs(0, &cost, &mut f, n).min(dfs(1, &cost, &mut f, n))
+    }
+}
+```
+
+#### JavaScript
+
+```js
+function minCostClimbingStairs(cost) {
+    const n = cost.length;
+    const f = Array(n).fill(-1);
+    const dfs = i => {
+        if (i >= n) {
+            return 0;
+        }
+        if (f[i] < 0) {
+            f[i] = cost[i] + Math.min(dfs(i + 1), dfs(i + 2));
+        }
+        return f[i];
+    };
+    return Math.min(dfs(0), dfs(1));
+}
+```
+
+<!-- tab:end -->
+
+<!-- solution:end -->
+
+<!-- solution:start -->
+
+### 方法二：动态规划
 
 我们定义 $f[i]$ 表示到达第 $i$ 个阶梯所需要的最小花费，初始时 $f[0] = f[1] = 0$，答案即为 $f[n]$。
 
@@ -77,9 +247,7 @@ $$
 
 最终的答案即为 $f[n]$。
 
-时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是数组 `cost` 的长度。
-
-我们注意到，状态转移方程中的 $f[i]$ 只和 $f[i - 1]$ 与 $f[i - 2]$ 有关，因此我们可以使用两个变量 $f$ 和 $g$ 交替地记录 $f[i - 2]$ 和 $f[i - 1]$ 的值，这样空间复杂度可以优化到 $O(1)$。
+时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是数组 $\textit{cost}$ 的长度。
 
 <!-- tabs:start -->
 
@@ -152,19 +320,6 @@ function minCostClimbingStairs(cost: number[]): number {
 }
 ```
 
-#### JavaScript
-
-```js
-function minCostClimbingStairs(cost) {
-    const n = cost.length;
-    const f = Array(n + 1).fill(0);
-    for (let i = 2; i <= n; ++i) {
-        f[i] = Math.min(f[i - 1] + cost[i - 1], f[i - 2] + cost[i - 2]);
-    }
-    return f[n];
-}
-```
-
 #### Rust
 
 ```rust
@@ -180,13 +335,28 @@ impl Solution {
 }
 ```
 
+#### JavaScript
+
+```js
+function minCostClimbingStairs(cost) {
+    const n = cost.length;
+    const f = Array(n + 1).fill(0);
+    for (let i = 2; i <= n; ++i) {
+        f[i] = Math.min(f[i - 1] + cost[i - 1], f[i - 2] + cost[i - 2]);
+    }
+    return f[n];
+}
+```
+
 <!-- tabs:end -->
 
 <!-- solution:end -->
 
 <!-- solution:start -->
 
-### 方法二
+### 方法三：动态规划（空间优化）
+
+我们注意到，状态转移方程中的 $f[i]$ 只和 $f[i - 1]$ 与 $f[i - 2]$ 有关，因此我们可以使用两个变量 $f$ 和 $g$ 交替地记录 $f[i - 2]$ 和 $f[i - 1]$ 的值，这样空间复杂度可以优化到 $O(1)$。
 
 <!-- tabs:start -->
 
@@ -250,25 +420,11 @@ func minCostClimbingStairs(cost []int) int {
 
 ```ts
 function minCostClimbingStairs(cost: number[]): number {
-    let a = 0,
-        b = 0;
+    let [f, g] = [0, 0];
     for (let i = 1; i < cost.length; ++i) {
-        [a, b] = [b, Math.min(a + cost[i - 1], b + cost[i])];
+        [f, g] = [g, Math.min(f + cost[i - 1], g + cost[i])];
     }
-    return b;
-}
-```
-
-#### JavaScript
-
-```js
-function minCostClimbingStairs(cost) {
-    let a = 0,
-        b = 0;
-    for (let i = 1; i < cost.length; ++i) {
-        [a, b] = [b, Math.min(a + cost[i - 1], b + cost[i])];
-    }
-    return b;
+    return g;
 }
 ```
 
@@ -288,53 +444,15 @@ impl Solution {
 }
 ```
 
-<!-- tabs:end -->
-
-<!-- solution:end -->
-
-<!-- solution:start -->
-
-### Solution 3: Dynamic Programming. Recursion and top-down approach
-
-<!-- tabs:start -->
-
-#### TypeScript
-
-```ts
-function minCostClimbingStairs(cost: number[]): number {
-    const n = cost.length;
-    const cache = Array(n).fill(-1);
-
-    const fn = (i: number): number => {
-        if (i <= 1) return cost[i];
-        if (cache[i] !== undefined && cache[i] !== -1) return cache[i];
-
-        cache[i] = (cost[i] ?? 0) + Math.min(fn(i - 1), fn(i - 2));
-
-        return cache[i];
-    };
-
-    return fn(n);
-}
-```
-
 #### JavaScript
 
 ```js
 function minCostClimbingStairs(cost) {
-    const n = cost.length;
-    const cache = Array(n).fill(-1);
-
-    const fn = i => {
-        if (i <= 1) return cost[i];
-        if (cache[i] !== undefined && cache[i] !== -1) return cache[i];
-
-        cache[i] = (cost[i] ?? 0) + Math.min(fn(i - 1), fn(i - 2));
-
-        return cache[i];
-    };
-
-    return fn(n);
+    let [f, g] = [0, 0];
+    for (let i = 1; i < cost.length; ++i) {
+        [f, g] = [g, Math.min(f + cost[i - 1], g + cost[i])];
+    }
+    return g;
 }
 ```