gh-39456: Trivial simplifications for arccos
    
This is replacing #36069

supersedes #36069

### 📝 Checklist

- [x] The title is concise and informative.
- [x] The description explains in detail what this PR is about.
- [ ] I have linked a relevant issue or discussion.
- [x] I have created tests covering the changes.
- [x] I have updated the documentation and checked the documentation
preview.
    
URL: #39456
Reported by: Frédéric Chapoton
Reviewer(s): Travis Scrimshaw

Author: Release Manager

src/doc/de/thematische_anleitungen/sage_gymnasium.rst

@@ -774,8 +774,7 @@ falls wir im Bogenmass rechnen möchten. Ansonsten müssen wir wie oben beschrie
 
 Ihre Umkehrfunktionen sind auch mit den nicht sehr überraschenden Namen ``asin()``, ``acos()``, ``atan()`` und ``acot()`` versehen.
 Sie geben uns aber wie oben erklärt nur Winkel im Bogenmass zurück. Möchten wir im Gradmass rechnen, müssen wir wieder
-konvertieren. Die exakte Berechnung der Werte funktioniert in die Gegenrichtung nur, falls im ursprünglichen Wert keine
-Wurzeln vorkommen::
+konvertieren. Exakte Berechnung der Werte funktioniert, wenn es möglich ist::
 
     sage: atan(1)
     1/4*pi
@@ -784,12 +783,7 @@ Wurzeln vorkommen::
     sage: rad2deg(x) = x*(180/pi)
     sage: rad2deg(acos(-1/2))
     120
-
-Falls wir Wurzelterme verwenden, müssen wir mit der Funktion ``simplify_full()`` vereinfachen::
-
     sage: acos(sqrt(3)/2)
-    arccos(1/2*sqrt(3))
-    sage: (acos(sqrt(3)/2)).simplify_full()
     1/6*pi
 
 Sage kann auch weitere Regeln für trigonometrische Funktionen anwenden, um Terme zu vereinfachen. Es kennt zum Beispiel auch die

src/sage/functions/trig.py

@@ -642,6 +642,9 @@ def __init__(self):
             (0.9045568943023814-1.0612750619050357j)
             sage: acos(SR(2.1))                                                         # needs sage.symbolic
             1.37285914424258*I
+
+            sage: arcsin(sqrt(2)/2)
+            1/4*pi
         """
         GinacFunction.__init__(self, 'arccos', latex_name=r"\arccos",
                 conversions=dict(maxima='acos', sympy='acos',

src/sage/geometry/hyperbolic_space/hyperbolic_geodesic.py

@@ -1854,9 +1854,9 @@ def angle(self, other):  # UHP
             sage: g = HyperbolicPlane().UHP().get_geodesic(1, 1 + I)
             sage: h = HyperbolicPlane().UHP().get_geodesic(-sqrt(2), sqrt(2))
             sage: g.angle(h)
-            arccos(1/2*sqrt(2))
+            1/4*pi
             sage: h.angle(g)
-            arccos(1/2*sqrt(2))
+            1/4*pi
 
         Angle is unoriented, as opposed to oriented. ::
 

src/sage/symbolic/ginac/inifcns_trig.cpp

@@ -1229,6 +1229,13 @@ static ex acos_eval(const ex & x)
 			return UnsignedInfinity;
 		throw (std::runtime_error("arccos_eval(): arccos(infinity) encountered"));
 	}
+
+	if (x.is_equal(mul(pow(_ex2, _ex1_2), _ex1_2)))
+                return mul(Pi, _ex1_4);
+
+        if (x.is_equal(mul(pow(_ex3, _ex1_2), _ex1_2)))
+                return numeric(1,6)*Pi;
+	
 	return acos(x).hold();
 }
 

src/sage/tests/books/computational-mathematics-with-sagemath/premierspas_doctest.py

@@ -65,7 +65,7 @@
 Sage example in ./premierspas.tex, line 967::
 
   sage: arccos(sin(pi/3))
-  arccos(1/2*sqrt(3))
+  1/6*pi
   sage: sqrt(2)
   sqrt(2)
   sage: exp(I*pi/7)