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Fix math dcases => \left\{
2 parents 0658c58 + 657520a commit 46ec689

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  • docs/02algorithms/10gaussian-elimination

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-113
lines changed

‎docs/02algorithms/10gaussian-elimination/index.mdx‎

Lines changed: 117 additions & 113 deletions
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -19,13 +19,13 @@ $$
1919
$$
2020
\gdef\customtextcircled#1{\textcircled{\small#1}}
2121
\gdef\formulanumber#1{\,\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\,\customtextcircled{#1}}
22-
\begin{dcases}
23-
\begin{alignat*}{3.5}
24-
& x_1 - {} & 2 & x_2 + {} & 3 & x_3 = 3 & \formulanumber{1} \\
25-
-& x_1 + {} & 3 & x_2 - {} & 2 & x_3 = 1 & \formulanumber{2} \\
26-
& x_1 - {} & & x_2 + {} & 6 & x_3 = 11 & \formulanumber{3}
27-
\end{alignat*}
28-
\end{dcases}
22+
\left\{
23+
\begin{alignat*}{3.5}
24+
& x_1 - {} & 2 & x_2 + {} & 3 & x_3 = 3 & \formulanumber{1} \\
25+
-& x_1 + {} & 3 & x_2 - {} & 2 & x_3 = 1 & \formulanumber{2} \\
26+
& x_1 - {} & & x_2 + {} & 6 & x_3 = 11 & \formulanumber{3}
27+
\end{alignat*}
28+
\right.
2929
$$
3030

3131
$
@@ -49,7 +49,7 @@ $$
4949
\gdef\formulanumber#1{\,\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\,\customtextcircled{#1}}
5050
\begin{align*}
5151
2x_2 + 4x_3 &= 12 \\
52-
\therefore x_2 + 2x_3 &= 6 \formulanumber{5}
52+
\therefore x_2 + 2x_3 &= 6 \formulanumber{5}
5353
\end{align*}
5454
$$
5555

@@ -59,20 +59,24 @@ $
5959
\customtextcircled{4},\customtextcircled{5}$ より、
6060

6161
$$
62-
\begin{dcases}
63-
x_2 = 2 \\
64-
x_3 = 2
65-
\end{dcases}
62+
\left\{
63+
\begin{align*}
64+
x_2 &= 2 \\
65+
x_3 &= 2
66+
\end{align*}
67+
\right.
6668
$$
6769

6870
よって、
6971

7072
$$
71-
\begin{dcases}
72-
x_1 = 1 \\
73-
x_2 = 2 \\
74-
x_3 = 2
75-
\end{dcases}
73+
\left\{
74+
\begin{align*}
75+
x_1 &= 1 \\
76+
x_2 &= 2 \\
77+
x_3 &= 2
78+
\end{align*}
79+
\right.
7680
$$
7781

7882
しかし、このようなアルゴリズムでプログラムを作るのは、難しそうです。
@@ -88,15 +92,15 @@ Gauss の消去法は、前進消去と後退代入の二段階から成りま
8892
次のように $n$ 個の未知数 $x_1, x_2, x_3, \dots , x_n$ に対して、$m$ 個の方程式を考えます。
8993

9094
$$
91-
\begin{dcases}
92-
\begin{alignat*}{5}
93-
a_{1, 1} & x_1 + {} & a_{1, 2} & x_2 + {} & a_{1, 3} & x_3 + \dots + {} & a_{1, n} & x_n = c_1 \\
94-
a_{2, 1} & x_1 + {} & a_{2, 2} & x_2 + {} & a_{2, 3} & x_3 + \dots + {} & a_{2, n} & x_n = c_2 \\
95-
a_{3, 1} & x_1 + {} & a_{3, 2} & x_2 + {} & a_{3, 3} & x_3 + \dots + {} & a_{3, n} & x_n = c_3 \\
96-
& \cdots\cdot\cdot \\
97-
a_{m, 1} & x_1 + {} & a_{m, 2} & x_2 + {} & a_{m, 3} & x_3 + \dots + {} & a_{m, n} & x_n = c_m
98-
\end{alignat*}
99-
\end{dcases}
95+
\left\{
96+
\begin{alignat*}{5}
97+
a_{1, 1} & x_1 + {} & a_{1, 2} & x_2 + {} & a_{1, 3} & x_3 + \dots + {} & a_{1, n} & x_n = c_1 \\
98+
a_{2, 1} & x_1 + {} & a_{2, 2} & x_2 + {} & a_{2, 3} & x_3 + \dots + {} & a_{2, n} & x_n = c_2 \\
99+
a_{3, 1} & x_1 + {} & a_{3, 2} & x_2 + {} & a_{3, 3} & x_3 + \dots + {} & a_{3, n} & x_n = c_3 \\
100+
& \cdots\cdot\cdot \\
101+
a_{m, 1} & x_1 + {} & a_{m, 2} & x_2 + {} & a_{m, 3} & x_3 + \dots + {} & a_{m, n} & x_n = c_m
102+
\end{alignat*}
103+
\right.
100104
$$
101105

102106
この方程式系に対して、以下を行ったものは元の方程式系と同値です。
@@ -188,18 +192,18 @@ $$
188192
これから、作られる方程式系は次のようになりこれははじめの方程式系と同値です。
189193

190194
$$
191-
\begin{dcases}
192-
\begin{alignat*}{4}
193-
& x_{j_1} + \dots + {} & b_{1, j_2} & x_{j_2} + \dots + {} & b_{1, j_3} & x_{j_3} + \dots + {} & b_{1, n} & x_n = d_1 \\
194-
0 & x_{j_1} + \dots + {} & & x_{j_2} + \dots + {} & b_{2, j_3} & x_{j_3} + \dots + {} & b_{2, n} & x_n = d_2 \\
195-
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & & x_{j_3} + \dots + {} & b_{3, n} & x_n = d_3 \\
196-
& \dots \\
197-
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & & x_n = d_l \\
198-
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_{l + 1} \\
199-
& \dots \\
200-
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_m \\
201-
\end{alignat*}
202-
\end{dcases}
195+
\left\{
196+
\begin{alignat*}{4}
197+
& x_{j_1} + \dots + {} & b_{1, j_2} & x_{j_2} + \dots + {} & b_{1, j_3} & x_{j_3} + \dots + {} & b_{1, n} & x_n = d_1 \\
198+
0 & x_{j_1} + \dots + {} & & x_{j_2} + \dots + {} & b_{2, j_3} & x_{j_3} + \dots + {} & b_{2, n} & x_n = d_2 \\
199+
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & & x_{j_3} + \dots + {} & b_{3, n} & x_n = d_3 \\
200+
& \dots \\
201+
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & & x_n = d_l \\
202+
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_{l + 1} \\
203+
& \dots \\
204+
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_m \\
205+
\end{alignat*}
206+
\right.
203207
$$
204208

205209
これで $x_n$ から順番に求めていくことで連立方程式を解くことができます。
@@ -208,13 +212,13 @@ $$
208212
Gauss の消去法を次の方程式系について行うと、以下のようになります。
209213

210214
$$
211-
\begin{dcases}
212-
\begin{alignat*}{3.5}
213-
& x_1 - {} & 2 & x_2 + {} & 3 & x_3 = 3 \\
214-
-& x_1 + {} & 3 & x_2 - {} & 2 & x_3 = 1 \\
215-
& x_1 - {} & & x_2 + {} & 6 & x_3 = 11
216-
\end{alignat*}
217-
\end{dcases}
215+
\left\{
216+
\begin{alignat*}{3.5}
217+
& x_1 - {} & 2 & x_2 + {} & 3 & x_3 = 3 \\
218+
-& x_1 + {} & 3 & x_2 - {} & 2 & x_3 = 1 \\
219+
& x_1 - {} & & x_2 + {} & 6 & x_3 = 11
220+
\end{alignat*}
221+
\right.
218222
$$
219223

220224
まずは、前進消去を行います。
@@ -268,37 +272,37 @@ $$
268272
次に、連立方程式に戻して後退代入を行っていきます。
269273

270274
$$
271-
\begin{dcases}
272-
\begin{alignat*}{3}
273-
x_1 - 2 & x_2 + {} & 3 & x_3 & {} = {} & 3 \\
274-
& x_2 + {} & & x_3 & {} = {} & 4 \\
275-
& & & x_3 & {} = {} & 2
276-
\end{alignat*}
277-
\end{dcases} \\
278-
\therefore
279-
\begin{dcases}
280-
\begin{alignat*}{3}
281-
x_1 - 2 & x_2 & & & {} = {} & 3 - 3\times 2 = -3 \\
282-
& x_2 & & & {} = {} & 4 - 2 = 2 \\
283-
& & & x_3 & {} = {} & 2
284-
\end{alignat*}
285-
\end{dcases} \\
275+
\left\{
276+
\begin{alignat*}{3}
277+
x_1 - 2 & x_2 + {} & 3 & x_3 & {} = {} & 3 \\
278+
& x_2 + {} & & x_3 & {} = {} & 4 \\
279+
& & & x_3 & {} = {} & 2
280+
\end{alignat*}
281+
\right. \\
286282
\therefore
287-
\begin{dcases}
288-
\begin{alignat*}{3}
289-
x_1 & & & & {} = {} & -3 + 2\times 2 = 1 \\
290-
& x_2 & & & {} = {} & 2 \\
283+
\left\{
284+
\begin{alignat*}{3}
285+
x_1 - 2 & x_2 & & & {} = {} & 3 - 3\times 2 = -3 \\
286+
& x_2 & & & {} = {} & 4 - 2 = 2 \\
291287
& & & x_3 & {} = {} & 2
292-
\end{alignat*}
293-
\end{dcases} \\
288+
\end{alignat*}
289+
\right. \\
290+
\therefore
291+
\left\{
292+
\begin{alignat*}{3}
293+
x_1 & & & & {} = {} & -3 + 2\times 2 = 1 \\
294+
& x_2 & & & {} = {} & 2 \\
295+
& & & x_3 & {} = {} & 2
296+
\end{alignat*}
297+
\right. \\
294298
\therefore
295-
\begin{dcases}
296-
\begin{align*}
297-
x_1 &= 1\\
298-
x_2 &= 2\\
299-
x_3 &= 2
300-
\end{align*}
301-
\end{dcases}
299+
\left\{
300+
\begin{align*}
301+
x_1 &= 1\\
302+
x_2 &= 2\\
303+
x_3 &= 2
304+
\end{align*}
305+
\right.
302306
$$
303307

304308
Gauss の消去法を使えば、このようにシステマティックに連立方程式を解けます。
@@ -330,18 +334,18 @@ $$
330334
これから、作られる方程式系は次のようになりこれは元の方程式系と同値です。
331335

332336
$$
333-
\begin{dcases}
334-
\begin{alignat*}{4}
335-
& x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_1 \\
336-
0 & x_{j_1} + \dots + {} & & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_2 \\
337-
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_3 \\
338-
& \dots \\
339-
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & & x_n = d_l \\
340-
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_{l + 1} \\
341-
& \dots \\
342-
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_m \\
343-
\end{alignat*}
344-
\end{dcases}
337+
\left\{
338+
\begin{alignat*}{4}
339+
& x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_1 \\
340+
0 & x_{j_1} + \dots + {} & & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_2 \\
341+
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_3 \\
342+
& \dots \\
343+
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & & x_n = d_l \\
344+
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_{l + 1} \\
345+
& \dots \\
346+
0 & x_{j_1} + \dots + {} & 0 & x_{j_2} + \dots + {} & 0 & x_{j_3} + \dots + {} & 0 & x_n = d_m \\
347+
\end{alignat*}
348+
\right.
345349
$$
346350

347351
これで連立方程式を解くことができました。
@@ -350,13 +354,13 @@ $$
350354
これを次の方程式系について行うと、以下のようになります。
351355

352356
$$
353-
\begin{dcases}
354-
\begin{alignat*}{3.5}
355-
& x_1 - {} & 2 & x_2 + {} & 3 & x_3 = 3 \\
356-
-& x_1 + {} & 3 & x_2 - {} & 2 & x_3 = 1 \\
357-
& x_1 - {} & & x_2 + {} & 6 & x_3 = 11
358-
\end{alignat*}
359-
\end{dcases}
357+
\left\{
358+
\begin{alignat*}{3.5}
359+
& x_1 - {} & 2 & x_2 + {} & 3 & x_3 = 3 \\
360+
-& x_1 + {} & 3 & x_2 - {} & 2 & x_3 = 1 \\
361+
& x_1 - {} & & x_2 + {} & 6 & x_3 = 11
362+
\end{alignat*}
363+
\right.
360364
$$
361365

362366
$$
@@ -430,21 +434,21 @@ $$
430434
$$
431435

432436
$$
433-
\begin{dcases}
434-
\begin{alignat*}{4}
435-
& x_1 + {} & 0 & x_2 + {} & 0 & x_3 & & = 1 \\
436-
0 & x_1 + {} & & x_2 + {} & 0 & x_3 & & = 2 \\
437-
0 & x_1 + {} & 0 & x_2 + {} & & x_3 & & = 2
438-
\end{alignat*}
439-
\end{dcases} \\
437+
\left\{
438+
\begin{alignat*}{4}
439+
& x_1 + {} & 0 & x_2 + {} & 0 & x_3 & & = 1 \\
440+
0 & x_1 + {} & & x_2 + {} & 0 & x_3 & & = 2 \\
441+
0 & x_1 + {} & 0 & x_2 + {} & & x_3 & & = 2
442+
\end{alignat*}
443+
\right. \\
440444
\therefore
441-
\begin{dcases}
442-
\begin{align*}
443-
x_1 &= 1 \\
444-
x_2 &= 2 \\
445-
x_3 &= 2
446-
\end{align*}
447-
\end{dcases}
445+
\left\{
446+
\begin{align*}
447+
x_1 &= 1 \\
448+
x_2 &= 2 \\
449+
x_3 &= 2
450+
\end{align*}
451+
\right.
448452
$$
449453

450454
:::
@@ -473,13 +477,13 @@ $x_n$ は $d_n$ になります。求まった $x_n$ をそれよりも上の式
473477
次のような連立方程式を解こうとすると、次のようなエラーが出てしまいます。
474478

475479
$$
476-
\begin{dcases}
477-
\begin{alignat*}{3.5}
478-
& & -2 & x_2 + {} & 3 & x_3 = 2 \\
479-
-& x_1 + {} & 3 & x_2 - {} & 2 & x_3 = 1 \\
480-
& x_1 - {} & & x_2 + {} & 6 & x_3 = 11
481-
\end{alignat*}
482-
\end{dcases}
480+
\left\{
481+
\begin{alignat*}{3.5}
482+
& & -2 & x_2 + {} & 3 & x_3 = 2 \\
483+
-& x_1 + {} & 3 & x_2 - {} & 2 & x_3 = 1 \\
484+
& x_1 - {} & & x_2 + {} & 6 & x_3 = 11
485+
\end{alignat*}
486+
\right.
483487
$$
484488

485489
<ViewSource path="/gaussian-elimination/gaussian_elimination_error.ipynb" />

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