设 G 是定义了二元运算（用并置表示）的非空集合，如果G满足下列的公理：
- 结合律 对任何元素 a，b，c \in G，有 (ab)c = a(bc)
- 单位元 存在元素 e \in G，使得对于G中任一个元素a，有 ae = ea = a
- 逆元 对每个元素 a \in G，存在一个元素 a^-1 \in G（a的逆元），使得 aa^-1 = a^-1 a = e
则称 G 为群。
若群 G 满足交换律，即对任意的 a，b \in G，有 ab = ba，则称 G 为阿贝尔群（或 交换群）。
当二元运算如上并置定义时，称 G 为乘法群；当 G 是阿贝尔群时，运算记为 +，称 G 为加法群。 此时单位元记为0，称为零元素，逆元记为-a，称为负元素。
群 G 中元素的个数记为 |G|，称为 G 的阶。若其阶是有限的，称G为有限群。
如果 A 和 B 是 G 的子集，则记： $$ AB = {ab: a\in A, b\in B} 或 A + B = {a + b: a\in A, b\in B} $$
从集合 {1, 2, 3, ..., n} 到自身的 1-1映射 称为置换，记为： $$ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \ j_1 & j_2 & j_3 & \cdots & j_n \end{pmatrix} $$ 其中，j_i = \sigma(i)。
所有置换的集合记为 S_n，共有 n! 个元素（P(n, n) = \frac{n!}{(n - n)!} = n!）。 S_n 中置换的 复合** 和 逆 均在 S_n 中，并且单位函数 \epsilon 也在 S_n 中，这样 S_n 在函数复合运算下构成群，我们称之为 n阶对称群。
设 A 是一非空集合，所有的函数（映射）f: A \to 组成的集合 MAP(A) 在函数的复合下是半群，但它是不是群，因为有些函数没有逆元。 但是，所有的 A 到自身的 1-1 映射（称为“置换”）组成的 MAP(A) 的子半群 PERM(A) 在函数的复合下构成群。
设 A 含有某些几何和代数结构，那么所有 A 到自身的同构映射（称为 A 的自同态）所组成的集合 AUT(A) 在函数的复合下也构成群。
设 H 是 群G 的一个子集，如果在 G 的运算下 H 本身也是群，那么 H 称为 G 的子群。
性质 群 G 的子集 H 是 G 的子群，如果：
- 单位元 e \in H
- 在 G 的运算下 H 封闭，即如果 a, b \in H，那么 a * b \in H
- H 对逆元封闭，即如果 a \in H，那么 a_{-1} \in H
每个群 G 都以 {e} 和 G 自身为其子群，G 的其他子群都称为 非平凡子群。
陪集
如果 H 是 G 的子群，且 a \in G，那么集合： $$ Ha = {ha: h \in H} $$
称为 H 的右陪集。 类似的， aH 称为 H 的左陪集。
定理 设 H 是群 G 的子群，那么右陪集 Ha 构成一个 G 的划分。 定理（拉格朗日） 设 H 是有限群 G 的子群，则 H 的阶整除 G 的阶。 定理 G 中 H 的右陪集的数目（称为 H 在 G 中的指标）等于 G 中 H 的左陪集的数目，且两者都等于 |G| 除以 |H|。
正规子群
如果 G 的一个子群 H，对于任意 a \in G，有 a^{-1} Ha \subseteq H，那么 H 称为正规子群。 等价地，H 是正规的，如果对于每个 a \in G，有 aH = Ha，即左陪集和右陪集相等。
阿贝尔群的每个子群都是正规的。
定理 设 H 是群 G 的一个正规子群，那么 H 的陪集在陪集乘法 $$ (aH)(bH) = abH $$ 下构成群。称为商群，记作 G/H。
设 G 中的运算是加法或者说 G 是加法式的，那么 G 的子群 H 的陪集形如 a + H，而且，如果 H 是 G 的正规子集，那么 H 的陪集在： $$ (a + H) + (b + H) = (a + b) + H $$ 下形成群。