假定对于集合A中的每个元素，我们都惟一地分配集合B的一个元素与之对应，这样的分配称为从A到B的函数。 集合A称为此函数的定义域，集合B称为此函数的上域。
通常用记号来表示函数，设f表示从A到B的函数，则记：
诗作“f为从A到B的函数”或者“f将A映射到B”。
如果a \in A，则f(a)（读作a的f像）表示由f分配给a的B中的惟一的元素，称为a在f下的像值，或者f在a处的值。 所有这些像值的集合称为f的 值域 或 像。 f: A \to 的像记作 Ran(f) 或者 Im(f) 或 f(A).
常常使用数学公式表示函数，如： $$ f(x) = x^2, x \to x^2，y = x^2 $$
对于最后一种记法，x称为自变量，y称为因变量。
每个函数f: A \to B产生一个从A到B的关系，称为f 的图，定义为： $$ 图 f = {(a, b): a \in A, b = f(a)} $$
两个函数f: A \to B 与g: A \to B称为相等，记作 f = g，如果对每个a \in A，有 f(a) = g(a)。 也就是说，它们有相同的图。
定义3.1 函数 f: A \to B是一个从A到B的关系（即A \times B的一个子集），使得每个a \in A都属于f的惟一有序偶(a, b)。
考虑函数f: A \to B和 g: B \to C，即f的上域就是g的定义域，由此我们可以得到一个新的从A到C的函数，称为f与g的复合函数，记作 g \circ f，定义为： $$ (g \circ f)(a) \equiv g(f(a)) $$
对于任意的函数f: A \to B，有 $$ f \circ l_A = f, l_B \circ f = f $$
其中，l_A与l_B分别为A，B上的恒同函数。
举例：
一一 函数f: A \to B，如果定义域A中的相异元素具有相异的像，称 f 为一一的（记作 1-1）。换言之，如果f(a) = f(a') 蕴含 a = a'，称f是一一的。
映上 函数f: A \to B，如果 B 的每个元素都是 A 的某个元素的像，称f: A -> B 为映上的。
定理3.1: 函数f:A \to B是可逆的，当且仅当f既是一一的，又是映上的。
如果函数f: A \to B既是一一的，又是映上的，则称f为A与B之间的一个一一对应。
一一的函数又称为 单射，映上又称为 满射，一一对应称为 双射。
一个双射的函数 σ: X → X 被称为 X 上的置换。X上的置换的合成与逆，及 X 上的恒等函数也是 X 上的置换。