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数学函数、指数函数、对数函数

上、下取整函数

x的下取整,表示小于x的最大整数(floor)

x的上取整,表示大于x的最小整数(ceil)

取整函数和绝对值函数

取整函数 设x为任意实数,x的取整函数,记作LNT(x),由删去小数点后的部分将x变为一个整数。

绝对值 字数x的绝对值记作ABS(x) 或 |x|,定义为 x 或 -x 中的较大者。

余数函数与模算术

设k为任意整数,M为一个正整数,则 $$ k \pmod{M} $$

(读作k模M)为以M除k的整数余数。即,k(mod M)是唯一的整数r满足: $$ k = Mq + r , 0 <= r < M $$

mod术语也用于数学中的同余关系,定义如下: $$ a \equiv b \pmod{M} 当且仅当 M 整除 b - a $$

其中M称为模,而 a \equiv b(mod M) 读作“a与b模M同余”。以下的同余形式将常常用到。 $$ 0 \equiv M \pmod M, a \pm M \equiv a\pmod{M} $$

指数函数

对数函数

对数是与指数相关的函数,设b为正整数,任意正数x的以b为底的对数记作

$$ \log_{b} x $$

表示可以得到x的b的指数,即: $$ y = \log_{b} x, b^y = x $$

常用对数 以10为底的对数, \log_{10} x, \log x, \lg x 自然对数 以e为底的对数, \log_{e} x, \ln x 二进制对数 以2为底的对数, \log_{2} x

指数函数与对数函数的关系

指数函数与对数函数之间是互逆关系: $$ f(x) = b^x, g(x) = \log_{b} x $$

他们在图上是关于线性函数 h(x) = x (y = x)对称。所以:

g(c) < h(c) < f(c)