关系由元素的有序偶(a, b)来定义，这里a作为第一元素，b为第二元素。
特别地，(a, b) = (c, d) 当且仅当 a = c 且 b = d。
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Wiener's $$ (a, b) := {{{a}, \emptyset}, {{b}}} $$
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Hausdorff $$ (a, b) := {{a, 1}, {b, 2}} $$ （注：此处的 1 和 2 不是数字 1 和 2，而是代表与 a 和 b 不相等的两个互不相等的元素）
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Kuratowski 定义 $$ (a, b) = {{a}, {a, b}} $$
有序偶第一元素的定义： $$ \forall Y \in p : x \in Y $$
有序偶第二元素的定义： $$ (\exist Y \in p : x \in Y) \land (\forall Y_1, Y_2 \in p : Y_1 \neq Y_2 \rarrow (x \not\in Y_1 \lor x \not\in Y_2)) $$
- Cantor-Frege 定义 (a, b) := { R: aRb } （使用关系来定义）
此外，还有多种其它定义形式，此处不再介绍。
对于任意两个集合A，B，称所有有序偶(a, b)的集合为A，B的积或笛卡尔积，其中 a ∈ A，b ∈ B。 A，B的积记作 A × B。
A × B = {(a, b): a ∈ A 且 b ∈ B}
A × A 通常也记作 A^2。
笛卡尔积有以下性质：
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not commutative: A != B -> A × B != B × A A × B = B × A <--> A = B
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n(A × B) = n(B × A) = n(A) n(B)
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not associative: (A × B) × C != A × (B × C)
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A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C) (A × C)^C = (A^C × B^C) ∪ (A^C × B) ∪ (A × B^C)
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(A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D)
(A ∪ B) × (C ∪ D) \neq (A × C) ∪ (B × D)
(A ∪ B) × (C ∪ D) = [(A \ B) × C] ∪ [(A ∩ B) × (C ∪ D)] ∪ [(B \ A) × D]
(A × C) \ (B × D) = [A ×(C \ D)] ∪ [(A \ B) × C]
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A ⊆ B -> A × C ⊆ B × C A, B != ∅ -> (A × B ⊆ C × D <--> A ⊆ C \land B ⊆ D)
R表示实数集，R^2可以表示平面上的点的集合，R^2常称为笛卡尔平面。
- A × B ≠ B × A
- card(A × B) = card(A) * card(B)
集合积的概念可以推广到任意有限多个集合，对于任意的集合 A1, A2, ..., An， 称全体n元有限组(a1, a2, ..., an)的集合为 A1, A2, ..., An 的积，记作：
A1 × A2 × ... × An 或：
定义 设A，B为集合，A×B的任一子集称为从A到B的一个二元关系或者简称关系。
假定R是从A到B的一个关系，则R是一个有序偶的集合，在每个有序偶中，第一个元素 来自A而第二元素来自B，即对于每一对a ∈ A 和 b ∈ B，下列两种情况恰具其一： 1. (a, b) ∈ R，称 a 与 b 之间具有关系R，记作 aRb； 2. (a, b) ∉ R，称 a 与 b 之间不具有关系R，记作 aꞦb；
如果R是集合A到自身的一个关系，即 R 是 A^2 的一个子集，则称 R 是 A 上的一个关系。
R的定义域是属于R的有序偶的第一元素的集合，而称所有第二元素的集合为R的值域。
设A为任一集合A上的一个重要关系为相等：
{(a, a): a ∈ A}
通常记作“=”。这个关系也称为集合A上的恒等或者对角线关系。记作Δ_A或简记为Δ。
设A为任一集合，则 A × A 和 ∅ 都是 A × A 的子集，因而也都是上A上的关系，分别称为完全关系和空关系。
设R为从集合A到B的任意一个关系，R的逆，记作 R^-1，是将R中的所有有序偶逆转后的有序偶的集合， 是一个从B到A的关系，即：
R^-1 = {(b, a): (a, b) ∈ �R}