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Author: chai2010

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+# 凹语言中文版NOIP 2024真题详解第1题
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+- 时间：2025-11-12
+- 撰稿：凹语言开发组
+- 转载请注明原文链接：[https://wa-lang.org/smalltalk/st0094.html](https://wa-lang.org/smalltalk/st0094.html)
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+NOIP 是全国青少年信息学奥林匹克联赛的英文缩写，是面向中小学生的信息学竞赛。由中国计算机学会主办，是国内信息学领域权威的普及性竞赛。主要考察编程能力和算法思维，核心语言包括 C++（主流）、C、Pascal（部分组别）。参赛对象为小学、初中、高中学生，分提高组、普及组等组别。成绩优秀者可获得高校自主招生、综合评价等相关优惠，是信息学特长升学的重要参考。
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+作为中国乃至面向世界的赛事，NOIP 比赛使用的全部是国外的编程语言。本文尝试通过凹语言来讲解答，通过不同的视角体会算法问题和工程问题的差异。
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+## 1. NOIP 2024 第1题
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+![](/st0094-01.jpg)
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+如果暂时不考虑性能（即 $O(n^2)$ 甚至更慢的复杂度也没关系），我们能找到一个**更直观、更容易理解**的算法，这个算法被称为**最大流/最小费用最大流**模型，或者用更简单的语言描述：**最大二分图匹配**的变形。
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+但是，因为这个题目的特殊性质（只有 '0' 和 '1' 两种字符，且操作是相邻交换），我们可以避开复杂的图论模型，直接使用**纯粹的贪心和计数**，这是最容易理解且最高效的方法。
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+## 2. 💡 最易理解的算法：纯粹的贪心与计数
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+这个算法的思路是：**将问题分解为独立的两部分，并分别用贪心法解决。**
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+### 2.1. 核心洞察：字符的分类与自由度
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+所有的字符和位置都可以根据它们能否被交换，被分成四种类型：
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+| $s_1$ 的状态 ($t_{1,i}$) | $s_2$ 的状态 ($t_{2,i}$) | 位置 $i$ 的自由度 | 决策：匹配 $s_{1,i}$ 和 $s_{2,i}$ |
+| :----------------------: | :----------------------: | :----------------: | :-------------------------------: |
+| **0 (固定)** | **0 (固定)** | 0                  | **固定匹配/不匹配。** $s_{1,i}$ 必须对 $s_{2,i}$。 |
+| **0 (固定)** | **1 (可换)** | 1                  | $s_{1,i}$ 确定。用 $s_2$ 的**可换字符池**去匹配它。 |
+| **1 (可换)** | **0 (固定)** | 1                  | $s_{2,i}$ 确定。用 $s_1$ 的**可换字符池**去匹配它。 |
+| **1 (可换)** | **1 (可换)** | 2                  | **完全自由。** 用 $s_1, s_2$ **剩余**的字符池进行自由组合。 |
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+### 2.2. 算法核心：两个独立的池子
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+因为相邻交换的特性（只要没有 $t_{i}=0$ 的障碍物，可换字符可以在其区间内任意排列），我们可以把所有 $t_{1,i}=1$ 的字符**想象成一个大池子 $C_1$**，所有 $t_{2,i}=1$ 的字符**想象成一个大池子 $C_2$**。
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+**目标：** 最大化从 $C_1$ 和 $C_2$ 中取出相同字符进行匹配的次数。
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+### 2.3. 三步贪心策略
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+我们将匹配过程分为三步，每一步都采用贪心策略，因为一旦完成了匹配，这个字符就不能再被使用了（即：**先用先得**）。
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+#### 步骤 1：处理双固定的位置（类型 0）
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+* **操作：** 遍历所有 $i$，如果 $t_{1,i}=0$ 且 $t_{2,i}=0$。
+* **贪心：** 如果 $s_{1,i} = s_{2,i}$，这是一个**确定无疑的匹配**。
+* **效果：** 答案 $+1$。
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+#### 步骤 2：处理一固一换的位置（类型 1）
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+* **操作：** 遍历所有 $i$ 属于类型 1 的位置（$t_{1,i} \neq t_{2,i}$）。
+* **贪心：** 在这类位置上，我们必须用 $s_1$ 或 $s_2$ 中固定的字符去**锁定**匹配目标，然后**消耗**掉另一个字符串的字符池中的一个对应字符。
+    * **例：** $t_{1,i}=0, t_{2,i}=1$ 且 $s_{1,i} = '0'$。如果 $C_2$ 池子中还有 '0'，我们**必须**用 $C_2$ 中的一个 '0' 来匹配这个固定的 $s_{1,i}$，从而锁定这个匹配。
+* **效果：**
+    * 如果匹配成功，答案 $+1$。
+    * 相应地，从 $C_1$ 或 $C_2$ 中**减少**对应字符的计数。
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+**为什么先处理这个？** 因为这些固定字符是**必须**要匹配的（如果可能），它们消耗了 $C_1$ 或 $C_2$ 的资源，限制了接下来的自由组合。
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+#### 步骤 3：处理双可换的位置（类型 2）
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+* **操作：** 此时 $C_1$ 和 $C_2$ 池子中还剩下一些字符，以及一些 $t_{1,i}=1, t_{2,i}=1$ 的**空闲位置**。
+* **贪心：** 由于这些空闲位置是完全自由的，我们可以用 $C_1$ 中**剩余**的字符和 $C_2$ 中**剩余**的字符进行**最大化匹配**。
+    * **匹配 '0'：** 我们可以组成 $\min(\text{剩余 '0' in } C_1, \text{剩余 '0' in } C_2)$ 对。
+    * **匹配 '1'：** 我们可以组成 $\min(\text{剩余 '1' in } C_1, \text{剩余 '1' in } C_2)$ 对。
+* **效果：** 答案加上这些匹配的总和。
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+## 3. 开始解决正题
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+这个算法把一个复杂的排列问题，简化成了**资源分配**问题：
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+1.  **确定**不需要资源的匹配。
+2.  **贪心**分配资源（$C_1$ 和 $C_2$）给那些半固定的需求。
+3.  **最大化**利用剩余的资源进行自由组合。
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+由于我们总是在可能的情况下优先匹配（贪心），且我们没有丢失任何字符（$C_1$ 和 $C_2$ 中包含了所有可换字符），这个策略是正确的。
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+凹语言中文编程的代码片段如下：
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+![](/st0094-02.png)
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+完整的代码：[https://gitcode.com/wa-lang/wa/blob/master/waroot/examples/noip2024/edit.wz](https://gitcode.com/wa-lang/wa/blob/master/waroot/examples/noip2024/edit.wz)
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+## 4. 结语：在实战中打磨中文编程
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+之前我们已经通过凹语言中文编程展示了CSP-J题目的解法，今天我们更进一步给出了NOIP题目的解法。正如我国回归联合国的过程充满了曲折，中文编程想走向世界的道路也注定不会平坦。最终的结果是汉语成了联合国的官方工作语言之一，中文编程也必将在世界上占有一席之地。
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