stdlib: Improve asin, acos and atan (4/2/3)

Robust: 4/4 (Does it work for all input values?)
Accurate: 2/4 (How accurate is the result?)
Well behaved: 3/4 (Does it preserve math properties?)

Author: statementreply

lib/算經.wy

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 		乃得「甲」也。
 	若「乙」小於「正餘弦角限」者。
 		乘「甲」於「甲」。名之曰「二次冪」。
-		施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。加其以一。乘其以「甲」。乃得矣。云云。
+		施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。乘其以「甲」。加其於「甲」。乃得矣。云云。
 	若「乙」不大於「至巨數」者。
 		施「分四象」於「甲」。於「正餘弦角限」。名之曰「丙」。
 		夫「丙」之「「角」」。名之曰「丁」。夫「丙」之「「象」」。名之曰「象」。
 		乘「丁」於「丁」。名之曰「二次冪」。
 		若「象」等於零者。
-			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。加其於一。乘其以「丁」。乃得矣。云云。
+			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。乘其以「丁」。加其於「丁」。乃得矣。云云。
 		若「象」等於一者。
 			施「求多項式」於「餘弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。加其於一。乃得矣。云云。
 		若「象」等於二者。
-			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。減其於負一。乘其以「丁」。乃得矣。云云。
+			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。乘其以「丁」。加其於「丁」。
+			乘其以負一。乃得矣。云云。
 		若「象」等於三者。
 			施「求多項式」於「餘弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。減其於負一。乃得矣。云云。
 	云云。
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 		若「象」等於零者。
 			施「求多項式」於「餘弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。加其於一。乃得矣。云云。
 		若「象」等於一者。
-			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。減其於負一。乘其以「丁」。乃得矣。云云。
+			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。乘其以「丁」。加其於「丁」。
+			乘其以負一。乃得矣。云云。
 		若「象」等於二者。
 			施「求多項式」於「餘弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。減其於負一。乃得矣。云云。
 		若「象」等於三者。
-			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。加其於一。乘其以「丁」。乃得矣。云云。
+			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。乘其以「丁」。加其於「丁」。乃得矣。云云。
 	云云。
 	施「不可算數乎」於「甲」。若其者。
 		乃得「甲」也。
 	施「不可算」。乃得矣。
 是謂「餘弦」之術也。
 
+吾有一列。名之曰「反正弦多項式」。
+	充「反正弦多項式」以〇·一六六六六六六六六六六六六六六四六。
+	充「反正弦多項式」以〇·〇七五〇〇〇〇〇〇〇〇〇二三一八五三。
+	充「反正弦多項式」以〇·〇四四六四二八五七〇九九五一八七七六。
+	充「反正弦多項式」以〇·〇三〇三八一九四七六一二五八八一八八。
+	充「反正弦多項式」以〇·〇二二三七二〇三九七二四〇六七九九六。
+	充「反正弦多項式」以〇·〇一七三五五四〇八四二九六九九一六八。
+	充「反正弦多項式」以〇·〇一三九二七九一六二七八〇七六一四〇。
+	充「反正弦多項式」以〇·〇一一八八八五三〇五一〇五三八八〇九。
+	充「反正弦多項式」以〇·〇〇七七四〇一二四四一八〇六六九〇三三。
+	充「反正弦多項式」以〇·〇一六二二三四二二六二三一八二五六二。
+	充「反正弦多項式」以負〇·〇一一〇六六五二一五七八〇七三九七〇。
+	充「反正弦多項式」以〇·〇二八四〇〇七四九二〇一四五一九六二。
+
 注曰「「反正弦。同Javascript之Math.asin也。」」
 今有一術。名之曰「反正弦」。欲行是術。必先得一數曰「甲」。乃行是術曰。
-	注曰「「Abramowitz & Stegun 書中所述之法」」
-	若「甲」小於零者。
-		減零以「甲」。取一以施「反正弦」。減其於零。乃得矣。
+	注曰「「小於五分者。以多項式求之。其餘以三角恆等式變化可得。」」
+	施「正負」於「甲」。名之曰「符」。乘「符」於「甲」。名之曰「乙」。
+	有爻陽。名之曰「非常」。
+	若「乙」大於零者。若「乙」不大於一者。
+		昔之「非常」者。今陰是矣。
+	云云。云云。
+	若「非常」者。
+		若「甲」等於零者。乃得「甲」也。
+		施「不可算數乎」於「甲」。若其者。乃得「甲」也。
+		施「不可算」。乃得矣。
 	云云。
 
-	有數一又五分七釐零七絲二忽八微。名之曰「常一」。
-	有數負零又二分一釐二毫一絲一忽四微。名之曰「常二」。
-	有數零又七釐四毫二絲六忽。名之曰「常三」。
-	有數負零又一釐八毫七絲二忽九微。名之曰「常四」。
-
-	乘「甲」以「甲」。名之曰「甲方」。
-
-	乘「甲」以「常二」。名之曰「項二」。
-	乘「甲方」以「常三」。名之曰「項三」。
-	乘「甲方」以「甲」。乘其以「常四」。名之曰「項四」。
-
-	加「常一」以「項二」。加其以「項三」。加其以「項四」。名之曰「多項」。
-
-	減一以「甲」。取一以施「平方根」。名之曰「根項」。
-
-	乘「根項」以「多項」。減其於「半圓周率」。乃得矣。
-
-
+	若「乙」大於五分者。
+		減「乙」於一。除其以二。名之曰「丙」。
+		施「平方根」於「丙」。乘其以二。名之曰「丁」。
+		施「求多項式」於「反正弦多項式」。於「丙」。乘其以「丙」。乘其以「丁」。加其以「丁」。名之曰「戊」。
+		夫「半圓周率密率」之二。減其以「戊」。名之曰「己」。
+		夫「半圓周率密率」之一。加其於「己」。乘其以「符」。乃得矣。
+	若非。
+		乘「乙」於「乙」。名之曰「丙」。
+		施「求多項式」於「反正弦多項式」。於「丙」。乘其以「丙」。乘其以「甲」。加其於「甲」。乃得矣。
+	云云。
 是謂「反正弦」之術也。
 
 注曰「「反餘弦。同Javascript之Math.acos也。」」
 今有一術。名之曰「反餘弦」。欲行是術。必先得一數曰「甲」。乃行是術曰。
 	注曰「「反餘弦者。蓋反正弦之變化所得。」」
-	減零以「甲」。取一以施「反正弦」。加其以「半圓周率」。乃得矣。
+	施「絕對」於「甲」。名之曰「乙」。
+	有爻陽。名之曰「非常」。
+	若「乙」不大於一者。
+		昔之「非常」者。今陰是矣。
+	云云。
+	若「非常」者。
+		施「不可算數乎」於「甲」。若其者。乃得「甲」也。
+		施「不可算」。乃得矣。
+	云云。
 
+	若「乙」大於五分者。
+		減「乙」於一。除其以二。名之曰「丙」。
+		施「平方根」於「丙」。乘其以二。名之曰「丁」。
+		施「求多項式」於「反正弦多項式」。於「丙」。乘其以「丙」。乘其以「丁」。加其以「丁」。名之曰「戊」。
+		若「甲」大於零者。
+			乃得「戊」。
+		若非。
+			夫「半圓周率密率」之二。乘其以二。減其以「戊」。名之曰「己」。
+			夫「半圓周率密率」之一。乘其以二。加其於「己」。乃得矣。
+		云云。
+	若非。
+		乘「乙」於「乙」。名之曰「丙」。
+		施「求多項式」於「反正弦多項式」。於「丙」。乘其以「丙」。乘其以「甲」。加其於「甲」。名之曰「戊」。
+		夫「半圓周率密率」之二。減其以「戊」。名之曰「己」。
+		夫「半圓周率密率」之一。加其於「己」。乃得矣。
+	云云。
 是謂「反餘弦」之術也。
 
 注曰「「正切。同Javascript之Math.tan也。」」
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 		乃得「甲」也。
 	若「乙」小於「正餘弦角限」者。
 		乘「甲」於「甲」。名之曰「二次冪」。
-		施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。加其以一。乘其以「甲」。名之曰「勾」。
+		施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。乘其以「甲」。加其於「甲」。名之曰「勾」。
 		施「求多項式」於「餘弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。加其以一。名之曰「股」。
 		除「勾」以「股」。乃得矣。云云。
 	若「乙」不大於「至巨數」者。
 		施「分四象」於「甲」。於「正餘弦角限」。名之曰「丙」。
 		夫「丙」之「「角」」。名之曰「丁」。夫「丙」之「「象」」。名之曰「象」。
 		乘「丁」於「丁」。名之曰「二次冪」。
 		若「象」等於零者。
-			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。加其於一。乘其以「丁」。名之曰「勾」。
+			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。乘其以「丁」。加其於「丁」。名之曰「勾」。
 			施「求多項式」於「餘弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。加其於一。名之曰「股」。
 			除「勾」以「股」。乃得矣。云云。
 		若「象」等於一者。
 			施「求多項式」於「餘弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。加其於一。名之曰「勾」。
-			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。減其於負一。乘其以「丁」。名之曰「股」。
+			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。乘其以「丁」。加其於「丁」。
+			乘其以負一。名之曰「股」。
 			除「勾」以「股」。乃得矣。云云。
 		若「象」等於二者。
-			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。減其於負一。乘其以「丁」。名之曰「勾」。
+			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。乘其以「丁」。加其於「丁」。
+			乘其以負一。名之曰「勾」。
 			施「求多項式」於「餘弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。減其於負一。名之曰「股」。
 			除「勾」以「股」。乃得矣。云云。
 		若「象」等於三者。
 			施「求多項式」於「餘弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。減其於負一。名之曰「勾」。
-			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。加其於一。乘其以「丁」。名之曰「股」。
+			施「求多項式」於「正弦多項式」。於「二次冪」。乘其以「二次冪」。乘其以「丁」。加其於「丁」。名之曰「股」。
 			除「勾」以「股」。乃得矣。云云。
 	云云。
 	施「不可算數乎」於「甲」。若其者。
 		乃得「甲」也。
 	施「不可算」。乃得矣。
 是謂「正切」之術也。
 
+吾有一列。名之曰「反正切多項式」。
+	充「反正切多項式」以負〇·三三三三三三三三三三三三三三三二六。
+	充「反正切多項式」以〇·一九九九九九九九九九九九九二二六八。
+	充「反正切多項式」以負〇·一四二八五七一四二八四二一〇九五七。
+	充「反正切多項式」以〇·一一一一一一一〇九九六五六八一〇三。
+	充「反正切多項式」以負〇·〇九〇九〇九〇四五七三六一九二八〇九。
+	充「反正切多項式」以〇·〇七六九二二〇二二一一〇八五〇六九六。
+	充「反正切多項式」以負〇·〇六六六五〇九六二七三七〇九三七五五。
+	充「反正切多項式」以〇·〇五八六六八一九一二四六一七二三一三。
+	充「反正切多項式」以負〇·〇五一五九〇五五四五〇八四〇七四八七。
+	充「反正切多項式」以〇·〇四二八八一四六一二三五七三四五六〇。
+	充「反正切多項式」以負〇·〇二九〇三〇一七〇一六〇九七五七五一。
+	充「反正切多項式」以〇·〇一一二〇八四九一一九三〇八七七九二。
+
 注曰「「反正切。同Javascript之Math.atan也。」」
 今有一術。名之曰「反正切」。欲行是術。必先得一數曰「甲」。乃行是術曰。
-	注曰「「數小甚矣。乃得其身。小於二減根號三者。以泰勒展開求之。其餘以三角恆等式變化可得。」」
-
-	施「絕對」於「甲」。若其小於零又一絲者。乃得「甲」也。
-	若「甲」小於零者。減零以「甲」。取一以施「反正切」。減其於零。乃得矣。云云。
-
-	若「甲」大於一者。除一以「甲」。取一以施「反正切」。減其於「半圓周率」。乃得矣。云云。
-
-	若「甲」大於零又二分六釐八毫者。
-		除「半圓周率」以三。名之曰「六分之一圓周率」。
-		有數一又七分三釐二毫零五忽。名之曰「三之平方根」。
-		乘「三之平方根」以「甲」。減其以一。名之曰「分子」。
-		加「三之平方根」以「甲」。除其於「分子」。取一以施「反正切」。
-		加其以「六分之一圓周率」。乃得矣。
+	注曰「「小於五分者。以多項式求之。其餘以三角恆等式變化可得。」」
+	施「正負」於「甲」。名之曰「符」。乘「符」於「甲」。名之曰「乙」。
+	有爻陽。名之曰「非常」。
+	若「乙」大於零者。若「乙」不大於「至巨數」者。
+		昔之「非常」者。今陰是矣。
+	云云。云云。
+	若「非常」者。
+		若「乙」等於零者。乃得「甲」也。
+		若「乙」大於「至巨數」者。乘「符」於「半圓周率」。乃得矣。云云。
+		乃得「甲」。
 	云云。
 
-	乘「甲」以「甲」。名之曰「二次冪」。
-	乘「二次冪」以「甲」。名之曰「三次冪」。
-	乘「二次冪」以「三次冪」。名之曰「五次冪」。
-	乘「二次冪」以「五次冪」。名之曰「七次冪」。
-	乘「二次冪」以「七次冪」。名之曰「九次冪」。
-	乘「二次冪」以「九次冪」。名之曰「十一次冪」。
-
-	除「三次冪」以三。名之曰「項二」。
-	除「五次冪」以五。名之曰「項三」。
-	除「七次冪」以七。名之曰「項四」。
-	除「九次冪」以九。名之曰「項五」。
-
-	減「甲」以「項二」。加其以「項三」。減其以「項四」。加其以「項五」。乃得矣。
-
+	若「乙」小於五分者。
+		乘「乙」於「乙」。名之曰「丙」。
+		施「求多項式」於「反正切多項式」。於「丙」。乘其以「丙」。乘其以「甲」。加其於「甲」。乃得矣。
+	若非。若「乙」大於二者。
+		除「乙」於一。名之曰「丁」。
+		乘「丁」於「丁」。名之曰「丙」。
+		施「求多項式」於「反正切多項式」。於「丙」。乘其以「丙」。乘其以「丁」。加其於「丁」。名之曰「戊」。
+		夫「半圓周率密率」之二。減其以「戊」。名之曰「己」。
+		夫「半圓周率密率」之一。加其於「己」。乘其以「符」。乃得矣。
+	若非。
+		減「乙」以一。名之曰「庚」。加「乙」於一。除其於「庚」。名之曰「丁」。
+		乘「丁」於「丁」。名之曰「丙」。
+		施「求多項式」於「反正切多項式」。於「丙」。乘其以「丙」。乘其以「丁」。加其於「丁」。名之曰「戊」。
+		夫「半圓周率密率」之二。除其以二。加其於「戊」。名之曰「己」。
+		夫「半圓周率密率」之一。除其以二。加其於「己」。乘其以「符」。乃得矣。
+	云云。云云。
 是謂「反正切」之術也。