stdlib: Implement correctly rounded sqrt (4/4/4)

Robust: 4/4 (Does it work for all input values?)
Accurate: 4/4 (How accurate is the result?)
Well behaved: 4/4 (Does it preserve math properties?)

算經.平方根 should return exactly the same result as Math.sqrt for all
input numbers except -0, for which Math.sqrt(-0) = -0 complying to IEEE
754, but 算經.平方根(-0) = +0.

This will also make the current implementation of hypot a tiny bit more
accurate than before. I'll rate hypot 4/2/3 after this patch (previously
4/2/2) due to the following property being preserved when sqrt is
correctly rounded:

hypot(x, y) >= |x| && hypot(x, y) >= |y|

Author: statementreply

lib/算經.wy

@@ -748,16 +748,31 @@
 有數四分一釐七毫三絲一忽九微。名之曰「平方根常數甲」。
 注曰「「 (2^0.5 - 1) * sqrt((2^0.25 + 2^-0.25) / 2) 」」
 減一於「二之平方根」。乘其以二。名之曰「平方根常數乙」。
+乘「上位冪」於「微位冪」。乘其以「進制」。乘其以「進制」。名之曰「平方根下溢界」。
 
 今有一術。名之曰「平方根」。欲行是術。必先得一數曰「甲」。乃行是術曰。
-	若「甲」大於零者。若非。
-		注曰「「浮點數相較。所得有四。曰小於。曰等於。曰大於。曰無序。故非大於者與不大於者異也。」」
-		若「甲」等於零者。乃得「浮點零」也。
-		若「甲」小於零者。施「不可算」。乃得矣。云云。
-		乃得「甲」。
+	有爻陽。名之曰「非常」。
+	若「甲」不小於「平方根下溢界」者。若「甲」小於「巨位冪」者。
+		昔之「非常」者。今陰是矣。
+	云云。云云。
+	若「非常」者。
+		若「甲」等於零者。
+			乃得「浮點零」也。
+		施「不可算數乎」於「甲」。若其者。
+			乃得「甲」也。
+		若「甲」大於「至巨數」者。
+			乃得「甲」也。
+		若「甲」小於零者。
+			施「不可算」。乃得矣。云云。
+		若「甲」不大於「平方根下溢界」者。
+			乘「甲」以「上位冪」。乘其以「上位冪」。乘其以「進制」。乘其以「進制」。取一以施「平方根」。
+			乘其以「下位冪」。乘其以「退制」。乃得矣。
+		云云。
+		若「甲」不小於「巨位冪」者。
+			乘「甲」以「退制」。乘其以「退制」。取一以施「平方根」。
+			乘其以「進制」。乃得矣。
+		云云。
 	云云。
-	若「甲」大於「至巨數」者。
-		乃得「甲」也。
 
 	施「析浮點數」於「甲」。名之曰「析甲」。
 	夫「析甲」之「「位」」。除其以二。名之曰「半位」。
@@ -772,6 +787,26 @@
 		除「甲」以「乙」。加其以「乙」。除其以二。名之曰「丙」。
 		昔之「乙」者。今「丙」是矣。
 	云云。
+
+	注曰「「以下校末位。」」
+	施「取內鄰數」於「乙」。名之曰「下數」。
+	施「相乘得雙」於「乙」。於「下數」。名之曰「下積」。
+	夫「下積」之一。若其大於「甲」者。
+		乃得「下數」也。
+	夫「下積」之一。若其等於「甲」者。夫「下積」之二。若其不小於零者。
+		乃得「下數」也。
+	云云。
+	注曰「「若甲等於中數乘下數者。其平方根不足下半間數。捨餘得下數也。」」
+
+	施「取外鄰數」於「乙」。名之曰「上數」。
+	施「相乘得雙」於「乙」。於「上數」。名之曰「上積」。
+	夫「上積」之一。若其小於「甲」者。
+		乃得「上數」也。
+	夫「上積」之一。若其等於「甲」者。夫「上積」之二。若其小於零者。
+		乃得「上數」也。
+	云云。
+	注曰「「若甲等於中數乘上數者。其平方根不足上半間數。捨餘得中數也。」」
+
 	乃得「乙」。
 是謂「平方根」之術也。