fresnel 定律公式提交

Author: yinghuochong-coder

PathTracing/src/RT_in_OneWeekend/image-4.png

@@ -170,4 +170,8 @@ color ray_color(const ray& r) {
 
 这样就得到了一个从白色渐变到蓝色的背景效果。
 
-![alt text](image-3.png)
+![alt text](image-3.png)
+
+
+![alt text](image-4.png)
+

PathTracing/src/RT_in_OneWeekend/ray_camera.md

@@ -5,7 +5,7 @@ src = "src"
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-
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raytracing_book/book.toml

@@ -0,0 +1,155 @@
+
+一、斯涅尔定律（Snell's Law）简介
+----------------------
+
+当光线从一种介质进入另一种介质时（如从空气进入水中），光的传播方向会发生改变，这种现象称为**折射**。斯涅尔定律描述了这种折射过程中的**入射角**和**折射角**之间的关系。
+
+### 数学表达：
+
+$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$$
+
+* $n_1$：入射介质的折射率
+    
+* $n_2$：折射介质的折射率
+    
+* $\theta_1$：入射角（光线与法线的夹角）
+    
+* $\theta_2$：折射角（折射光线与法线的夹角）
+    
+
+> 角度都是相对于法线（而不是表面）来定义的。
+
+* * *
+
+二、折射向量的推导与计算
+------------
+
+在图形学中，我们常常需要从入射光线向量和法线计算折射向量。这一过程基于**向量形式的斯涅尔定律**，以下是推导全过程。
+
+* * *
+
+### 1. 设定
+
+已知以下向量：
+
+* $\mathbf{I}$：单位入射向量（朝向表面，已归一化）
+    
+* $\mathbf{N}$：单位法线向量（朝外，已归一化）
+    
+* $\eta = \frac{n_1}{n_2}$：折射率比（入射介质 / 折射介质）
+    
+
+目标：求出折射后的单位向量 $\mathbf{T}$
+
+* * *
+
+### 2. 斯涅尔定律在向量空间的表达
+
+入射向量与法线之间的夹角为 $\theta_1$，根据余弦定义：
+
+$$\cos\theta_1 = -\mathbf{I} \cdot \mathbf{N}$$
+
+（注意：入射光向量指向表面，法线向外，因此取负号）
+
+* * *
+
+### 3. 折射向量构建思路
+
+我们将折射向量 $\mathbf{T}$ 拆解为两个分量：
+
+* **平行于表面的分量** $\mathbf{T}_\parallel$
+    
+* **垂直于表面的分量** $\mathbf{T}_\perp$
+    
+
+* * *
+
+### 4. 使用折射率比进行缩放
+
+根据折射定律和平面几何关系，有：
+
+#### 平行分量：
+
+$$\mathbf{T}_\parallel = \eta(\mathbf{I} + \cos\theta_1 \cdot \mathbf{N})$$
+
+（先将 $\mathbf{I}$ 在法线方向分解掉，然后缩放）
+
+* * *
+
+### 5. 计算垂直分量（保持单位长度）
+
+设 $\cos\theta_2$ 为折射角余弦，由三角恒等式有：
+
+$$\cos^2\theta_2 = 1 - \sin^2\theta_2$$
+
+又由斯涅尔定律知：
+
+$$\sin\theta_2 = \eta \sin\theta_1$$
+
+而 $\sin^2\theta_1 = 1 - \cos^2\theta_1$，代入得：
+
+$$\cos^2\theta_2 = 1 - \eta^2 (1 - \cos^2\theta_1)$$
+
+因此：
+
+$$\mathbf{T}_\perp = -\sqrt{1 - \eta^2 (1 - \cos^2\theta_1)} \cdot \mathbf{N}$$
+
+* * *
+
+### 6. 折射向量的总和
+
+$$ 
+\vec{T} = \eta \cdot (\vec{I} + \cos \theta_i) - \sqrt{1 - \eta^2(1 - \cos^2\theta_i)} \cdot \vec{N}
+$$
+
+$$
+\vec{T} = \eta \cdot (\vec{I} + \cos\theta_i \cdot \vec{N}) - \sqrt{1 - \left| \eta \cdot (\vec{I} + \cos\theta_i \cdot \vec{N}) \right|^2} \cdot \vec{N}
+$$
+
+这是常见的折射向量表达式，可用于 Shader、渲染管线等场景。
+
+* * *
+
+三、特殊情况：全反射
+----------
+
+如果
+
+$$\eta^2 (1 - \cos^2\theta_1) > 1$$
+
+则根号内为负值，此时**不存在实数解**，即发生了**全反射**（Total Internal Reflection）。也就是说，所有光都被反射回去了，没有折射向量。
+
+* * *
+
+四、伪代码实现（Unity HLSL 等价）
+----------------------
+
+```hlsl
+float3 Refract(float3 I, float3 N, float eta)
+{
+    float cos1 = clamp(-dot(I, N), -1.0, 1.0);
+    float sin2Sq = eta * eta * (1.0 - cos1 * cos1);
+
+    if (sin2Sq > 1.0)
+        return float3(0,0,0); // 全反射，无折射
+
+    float cos2 = sqrt(1.0 - sin2Sq);
+    return eta * I + (eta * cos1 - cos2) * N;
+}
+```
+
+* * *
+
+五、物理直觉总结
+--------
+
+* 折射是因为光速在不同介质中不同。
+    
+* 法线方向决定了角度定义，必须统一。
+    
+* 折射向量的构造保留了单位长度。
+    
+* 在图形学中更常使用向量形式而不是角度形式进行计算。
+    
+
+如需结合图示说明、代码调试或反射向量对比，我也可以补充说明。

raytracing_book/src/OneWeekend/fresnel.md

@@ -0,0 +1,142 @@
+一、Fresnel 方程简介
+--------------
+
+当光线射向介质表面时，一部分光会**反射**，另一部分光会**折射（透射）**。  
+**Fresnel 方程**用于计算不同角度下，反射光和折射光的比例（反射率与透射率）。
+
+* * *
+
+### 定义：
+
+对于入射光，其反射率取决于：
+
+* 入射角 $\theta_1$
+    
+* 折射角 $\theta_2$
+    
+* 两侧介质的折射率 $n_1$、$n_2$
+    
+* 光的极化方式（s极化或p极化）
+    
+
+Fresnel 方程给出了两种极化方向下的反射率：
+
+* $R_s$：s-极化（垂直于入射面）反射率
+    
+* $R_p$：p-极化（平行于入射面）反射率
+    
+
+整体反射率为：
+
+$$R = \frac{R_s + R_p}{2}$$
+
+* * *
+
+### 数学表达：
+
+$$R_s = \left| \frac{n_1 \cos\theta_1 - n_2 \cos\theta_2}{n_1 \cos\theta_1 + n_2 \cos\theta_2} \right|^2$$ $$R_p = \left| \frac{n_1 \cos\theta_2 - n_2 \cos\theta_1}{n_1 \cos\theta_2 + n_2 \cos\theta_1} \right|^2$$
+
+* * *
+
+### 说明：
+
+* $$\cos\theta_1 = -\vec{I} \cdot \vec{N}$$
+    
+* $\cos\theta_2$ 可通过 Snell's Law 推出
+    
+* 由于不同极化方向反射行为不同，图形学通常**取平均值**
+    
+
+* * *
+
+二、Schlick 近似（图形学中常用的高效估算）
+-------------------------
+
+完整的 Fresnel 方程较为复杂，尤其在实时渲染中代价高。因此**Christophe Schlick** 提出一个简洁的近似公式，在角度较小时非常精确。
+
+* * *
+
+### Schlick 公式：
+
+$$R(\theta) = R_0 + (1 - R_0)(1 - \cos\theta)^5$$
+
+其中：
+
+* $R_0 = \left( \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \right)^2$：垂直入射（$\theta = 0^\circ$）时的反射率
+    
+* $$\cos\theta = -\vec{I} \cdot \vec{N}$$
+    
+
+* * *
+
+### 物理意义：
+
+* 当光垂直入射（$\cos\theta = 1$）时，反射率最小
+    
+* 当光接近平行于表面（$\cos\theta \rightarrow 0$）时，反射率迅速上升接近 1
+    
+* 该公式可逼近玻璃、水、金属等各种介质在非极化光条件下的反射行为
+    
+
+* * *
+
+### HLSL/GLSL 实现示例：
+
+```hlsl
+float FresnelSchlick(float cosTheta, float R0)
+{
+    float x = 1.0 - cosTheta;
+    float x2 = x * x;
+    return R0 + (1.0 - R0) * x2 * x2 * x; // x^5
+}
+```
+
+* * *
+
+三、金属与非金属 Fresnel 行为差异
+---------------------
+
+### 非金属（Dielectric）：
+
+* $R_0$ 通常很小（如水约 0.02）
+    
+* 折射主导（反射仅在斜角时明显）
+    
+
+### 金属（Conductor）：
+
+* 没有透射光（几乎完全反射）
+    
+* Fresnel 反射率随波长、方向、材质显著变化
+    
+* 实际中用 **复折射率（complex IOR）** 计算：$n + ik$，更复杂
+    
+
+> 图形学中 PBR 通常使用 LUT 或基于经验参数来近似金属 Fresnel 效果
+
+* * *
+
+四、图形学中的使用总结
+-----------
+
+| 使用目的 | 方法选择 | 精度 | 性能 |
+| --- | --- | --- | --- |
+| 实时渲染（如玻璃、水） | Schlick 近似 | 高（对于非金属） | 高效 |
+| 精确物理仿真 | 完整 Fresnel 方程 | 准确 | 较慢 |
+| 金属材质 | 使用复折射率 或 Lookup Table | 精确 | 中等 |
+
+* * *
+
+五、补充：Fresnel 与渲染公式中的作用
+----------------------
+
+在 PBR（基于物理的渲染）中：
+
+* Fresnel 是 **镜面反射项（Specular）** 的核心组成部分
+    
+* 常与微表面模型（如 GGX）配合使用
+    
+* 调节光与视角之间的高光强度变化
+    
+
+* * *

raytracing_book/src/OneWeekend/fresnel_equation.md

@@ -14,7 +14,8 @@
     - [可定位相机](OneWeekend/12_positionable_camera.md)
     - [散焦模糊](OneWeekend/13_defocus_blur.md)
     - [下一步去哪](OneWeekend/14_next.md)
-
+    - [Snel's Law](./OneWeekend/fresnel.md)
+    - [Fresnel Equation](./OneWeekend/fresnel_equation.md)
 - [DirectX11 相关](#2)
     - [Multithreading](directx11/multithreading.md)
     - [Effect](directx11/effect/effect.md)