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Author: yinghuochong-coder

book_template/src/SUMMARY.md

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 # Summary
 
-- [映射与函数](./映射与函数.md)
-- [洛必达法则](./洛必达法则.md)
-- [泰勒公式](./泰勒公式.md)
-- [Chapter 1](./chapter_1.md)
+- [高等数学](./高等数学.md)
+    - [映射与函数](./映射与函数.md)
+    - [洛必达法则](./洛必达法则.md)
+    - [泰勒公式](./泰勒公式.md)
+- [Windows 驱动开发](./windows_divers.md)

book_template/src/windows_divers.md

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+# Windows 驱动开发
+
+

book_template/src/高等数学.md

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+# 高等数学

raytracing_book/src/OneWeekend/monte_calor.md

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+
+一、路径渲染中的核心数学模型：渲染方程
+-------------------
+
+路径渲染的基础是 Kajiya 提出的**渲染方程（Rendering Equation）**：
+
+$$L_o(x, \omega_o) = L_e(x, \omega_o) + \int_{\Omega} f_r(x, \omega_i, \omega_o) \, L_i(x, \omega_i) \, (\omega_i \cdot n) \, d\omega_i$$
+
+* $L_o(x, \omega_o)$：观察方向 $\omega_o$ 上点 $x$ 的出射辐射度。
+    
+* $L_e(x, \omega_o)$：该点自身的自发光。
+    
+* $L_i(x, \omega_i)$：来自方向 $\omega_i$ 的入射辐射度。
+    
+* $f_r$：BRDF，描述表面对不同入射方向的反射特性。
+    
+* $\omega_i \cdot n$：入射方向与法线的夹角余弦项。
+    
+* $\Omega$：单位球面，积分在整个入射方向上。
+    
+
+这个积分非常复杂，因为它是高维、递归、不可解析的，因此不能用传统数值积分解法。
+
+
+二、蒙特卡洛积分：近似解渲染方程的关键
+-------------------
+
+### 蒙特卡洛积分的基本思想：
+
+将积分写成如下期望的形式：
+
+$$\int_D f(x) \, dx \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{f(x_i)}{p(x_i)}$$
+
+$$\int_D f(x) \, dx \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i)$$
+
+
+其中：
+
+* $x_i \sim p(x)$ 是按照概率密度函数 $p(x)$ 采样得到的样本。
+    
+* 通过这种随机采样，可以近似估计积分值，尤其适用于高维复杂积分。
+    
+
+### 应用于路径渲染：
+
+对于渲染方程的每一层反射或折射，在某一个交点 $x$，需要计算对所有可能入射方向的积分。我们不能穷举所有方向，就用蒙特卡洛积分方式进行**随机采样**：
+
+$$L_o(x, \omega_o) \approx L_e(x, \omega_o) + \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{f_r(x, \omega_i, \omega_o) \, L_i(x, \omega_i) \, (\omega_i \cdot n)}{p(\omega_i)}$$
+
+这里 $p(\omega_i)$ 是采样方向 $\omega_i$ 的概率密度函数。
+
+* * *
+
+三、重要性采样：提高蒙特卡洛积分效率
+------------------
+
+### 为什么需要重要性采样？
+
+尽管蒙特卡洛积分理论上可以收敛到正确结果，但**收敛速度慢、噪点多**。特别是当采样方向的分布和被积函数的形状差异很大时，会导致一些采样点几乎不贡献，但仍然被计算，从而浪费计算资源。
+
+### 重要性采样的核心思想：
+
+**选择一个更“接近被积函数形状”的概率密度函数 $p(x)$** 来进行采样，以减少方差。理想情况下，我们希望：
+
+$$p(x) \propto f(x)$$
+
+在路径渲染中，这意味着：
+
+* 如果表面是镜面反射，就优先采样反射方向；
+    
+* 如果表面是漫反射，就优先采样半球面中靠近法线的方向；
+    
+* 如果场景中有明亮的光源，就提高采样到这些方向的概率。
+    
+
+### 实际应用场景：
+
+1. **BRDF 重要性采样（BSDF sampling）**：
+    
+    * 根据材质的反射函数 $f_r$ 来采样方向，比如漫反射用余弦加权采样。
+        
+2. **光源重要性采样（Light sampling）**：
+    
+    * 根据场景中各光源的亮度和位置，选择更有可能贡献的光源进行采样。
+        
+3. **多重重要性采样（MIS, Multiple Importance Sampling）**：
+    
+    * 同时结合 BRDF 采样和光源采样，使用**加权策略（如 balance heuristic）**来结合多个采样策略，进一步降低方差。
+        
+
+* * *
+
+四、总结路径渲染中蒙特卡洛积分与重要性采样的作用
+------------------------
+
+| 概念 | 在路径渲染中的作用 |
+| --- | --- |
+| **蒙特卡洛积分** | 以概率统计的方式近似解渲染方程，实现对复杂光线路径的模拟 |
+| **重要性采样** | 通过优化采样分布降低估计方差，提高采样效率和图像质量 |
+| **多重重要性采样** | 综合多个采样策略，进一步降低方差，提高图像稳定性 |
+
+* * *
+
+* * *
+
+$$\mathbb{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \cdot f(x)\  dx$$
+
+
+🔁 2. **蒙特卡洛方法的更一般形式**
+----------------------
+
+### ✅ 最朴素形式：
+
+估计期望（或积分）：
+
+$$ \mathbb{E}_{X} = \int x \cdot f(x) \ dx \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i $$
+
+$$\mathbb{E}_{X \sim f}[g(X)] = \int g(x) f(x)\, dx \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N g(x_i) \quad (x_i \sim f)$$
+
+
+$$\mathbb{E}_{X \sim f}[g(X)] = \int g(x) f(x)\, dx \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N g(x_i) \cdot f(x_i) \quad (x_i \sim f)$$
+
+这是最常见形式 —— **直接从目标分布采样**。 $\int_D f(x) \, dx \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{f(x_i)}{p(x_i)}$
+
+
+
+### ✅ 更一般形式：**重要性采样（importance sampling）**
+
+在很多时候，我们**无法从目标分布 $f(x)$** 直接采样，而是从另一个“易采样”的分布 $q(x)$ 中采样，这时怎么办？
+
+#### 变换公式如下：
+
+$$\int g(x) f(x)\, dx = \int g(x) \cdot \frac{f(x)}{q(x)} \cdot q(x) \, dx = \mathbb{E}_{x \sim q}\left[ g(x) \cdot \frac{f(x)}{q(x)} \right]$$
+
+于是我们估计这个期望的方式变成：
+
+$$\mathbb{E}_{f}[g(X)] \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N g(x_i) \cdot \frac{f(x_i)}{q(x_i)} \quad (x_i \sim q)$$
+
+这就是**蒙特卡洛积分的一般形式**，也是变分推断、强化学习等中的核心技术。

raytracing_book/src/SUMMARY.md

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 - [光线追踪-第二周](#second.md)
     - [概述](./SecondWeekend/overview.md)
     - [运动模糊](./SecondWeekend/motion_blur.md)
-    
+    - [Monte Calor](./OneWeekend/monte_calor.md)
 - [DirectX11 相关](#2)
     - [Multithreading](directx11/multithreading.md)
     - [Effect](directx11/effect/effect.md)