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content/杂七杂八/数学/数学分析3 大逃杀笔记2.md

@@ -1,6 +1,6 @@
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-created: "2025-12-26"
-updated: "2025-12-26"
+created: 2025-12-26
+updated: 2025-12-27
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 才发现上学期没学正向级数而是直接去学多元微积分了，所以这学期得先回来学正向级数。
 
@@ -40,7 +40,32 @@ $$\sum^\infty_{n=1}=a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots+a_{n}=\sum^\infty_{n=1} a_{1}+
 
 绝对收敛级数：对级数的各项绝对值组成的级数 $\sum^\infty_{n=0}|a_{n}|$也是收敛的，则称级数是绝对收敛级数。 
 
-### 正项级数
+### 常见级数
+
+#### p 级数
+
+$$
+p级数\quad \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^p}:\quad
+\begin{cases}
+发散 & p\leq 1, \\
+收敛 & p \gt 1
+\end{cases}
+$$
+
+当 $p=1$ 时的级数称为调和级数 $\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n}$
+
+#### 等比级数
+
+$$
+等比级数\quad \sum^\infty_{n=1}a \cdot q^n:\quad
+\begin{cases}
+收敛于\quad \frac{首项}{1-q} & |q| < 1, \\
+发散 & |q| \geq 1,
+\end{cases}
+\quad, 并且a\neq 0
+$$
+
+## 正项级数
 
 数列 $a_{n}$ 都 $>0$ 的级数是正项级数。
 
@@ -50,3 +75,47 @@ $$\sum^\infty_{n=1}=a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots+a_{n}=\sum^\infty_{n=1} a_{1}+
 
 *从某一项开始才开始有正项级数也行，因为前 n 向可以单独算。放宽松点依旧可以当正向级数。*
 
+### 基本定理
+
+$$\sum^\infty_{n=1}a_{n}是正项级数 \iff S_{n}单调递增$$
+
+$$\sum^\infty_{n=1}a_{n} 收敛\iff S_{n}收敛$$
+
+
+定理如下：
+$$如果\sum^\infty_{n=1}a_{n}是正向级数，则有\sum ^\infty_{n=1}a_{n} 收敛\iff S_{n}有上界$$
+
+### 比较判别法
+
+有$\sum^\infty_{n=1}x_{n}, \sum^\infty_{n=1}y_{n},\quad x_{n}>0, y_{n}>0,\quad x_{n}\leq Ay_{n}\quad(A>0)$.
+
+则有：
+$$
+\begin{align}
+& 若 \sum^\infty_{n=1}y_{n}收敛,\quad 则\sum^\infty_{n=1}x_{n} 收敛. \\
+& 若\sum^\infty_{n=1}x_{n}发散,\quad 则\sum ^\infty_{n=1}y_{n} 发散.
+\end{align}
+$$
+
+**简称：大收小收，小发大发。**
+
+### 极限判别法
+
+$$有\sum^\infty_{n=1}x_{n}, \sum^\infty_{n=1}y_{n}是正项级数，并且令\lim_{ n \to \infty } \frac{x_{n}}{y_{n}}=l$$
+
+$$
+\begin{align}
+& 若 \\
+&\quad & 0\leq l < +\infty,\quad 若 \sum^\infty_{n=1} y_{n} 收敛,\quad则 \sum^\infty_{n=1}x_{n} 收敛. \\
+&\quad & 0\leq l \leq +\infty,\quad 若 \sum^\infty_{n=1}y_{n}发散,\quad则\sum^\infty_{n=1}x_{n} 发散.
+\end{align}
+$$
+
+**一个很好的推论是**：
+
+$$当0<l<+\infty时，\sum^\infty_{n=1}y_{n}和\sum^\infty_{n=1}x_{n}同敛散性.$$
+
+### 根值判别法
+
+#todo 
+