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content/杂七杂八/数学/常微分方程 大逃杀笔记.md

@@ -95,7 +95,7 @@ $$y=G^{-1}(H(x)+G(y_{0})-H(x_{0}))$$
 
 *变量分离三步，当然也可以直接套公式。第一步是分离变量，第二步是两边积分，第三步求解 y，此外还可以考虑初值条件得到初值条件下的解。*
 
-### 一阶线性微分方程
+#### 一阶线性微分方程
 
 $$\frac{dy}{dx}=a(x)y+f(x)$$
 
@@ -146,3 +146,55 @@ $$y=e^{\int a(x)dx}\left( \int f(x)e^{-\int a(x)dx}+C \right)$$
 
 *这里可以理解成解的基础，里面的 C 就是齐次时的通解基础，另一个积分是 f(x) 作用于通解的变化……算了我编不下去了，多用公式看看能不能记住吧。*
 
+#### Bernoulli 方程
+*更加宽泛的方程通解*
+
+$$\frac{dy}{dx}=a(x)y+f(x)y^\alpha$$
+
+像这样的就是 Bernoulli 方程。（名字拼着好麻烦）
+
+$$
+\begin{align}
+两端除以 y^\alpha \\
+y^{-\alpha} \frac{dy}{dx} = a(x)y^{1-\alpha}+f(x)y  \\
+令 z=y^{1-\alpha}  \\
+则有 \frac{dz}{dx}=(1-\alpha) \frac{dy}{dx} \\
+所以 \frac{dz}{dx}=(1-\alpha)a(x)z+(1-\alpha)f(x) \\
+现在是关于 z 的一阶线性方程了.
+\end{align}
+$$
+
+可以算出 $z$ 的通解
+
+$$
+\begin{align}
+z=e^{\int(1-\alpha)a(x)dx} \left( \int(1-\alpha) f(x) e^{-\int(1-\alpha)a(x)dx}+C \right)=y^{(1-\alpha)} \\ \\
+这是隐式解了，喜欢算显式解自己算去.
+\end{align}
+$$
+
+#### 齐次方程
+*更加宽泛*
+
+$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$
+
+这样的就是齐次方程，同样也可以化成之前的已经解开的形式。 *好消息是可以直接化成变量分离形式.*
+
+$$
+\begin{align}
+有这么一个条件成立 \\
+f(\lambda x,\lambda y)\equiv f(x,y) \\
+令 u = \frac{y}{x} ，则 y=ux. \\
+所以 \frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx} \\
+代入原方程得到 \\
+u+x \frac{du}{dx} = f(x,ux) = f(1, u) \\
+最后
+x\frac{du}{dx} = f(1,u) - u
+\end{align}
+$$
+
+
+这个就是变量分离的方程了，解出来再把 x,y 代入解就可以得到原方程通解.
+
+*感觉是最好理解的一个，除了需要注意 u 也是关于 x 的函数，在求导的时候要用链式法则以外还行。*
+