You signed in with another tab or window. Reload to refresh your session.You signed out in another tab or window. Reload to refresh your session.You switched accounts on another tab or window. Reload to refresh your session.Dismiss alert
*[Номер]\** - доказательство нужно учить только если вы собираетесь идти на дополнительную часть коллоквиума
6
+
7
+
*[Номер]\*\** - билет нужно учить только если вы собираетесь идти на дополнительную часть коллоквиума
8
+
9
+
Если нашли ошибку или хотите дополнить pdf файлы - можете найти typst-исходники в репозитории, указанном на титульном листе. Ну или просто добавьте ишуй в него и я сам отредактирую файл)
10
+
11
+
Ну и поставьте звёздочку, ибо времени и сил было потрачено много
= T37\*. Замена переменной в несобственном интеграле
4
+
*Формула замены переменной*
5
+
6
+
Пусть $f in C[A, B)$, $x = phi(t): [alpha, beta] -> [A, B)$, $phi$ дифференцируема и $phi' in R_"loc" [alpha, beta]$. Пусть, кроме того, существует $phi(beta - 0) inRR$. Тогда
7
+
8
+
$integral_(phi(alpha))^(phi(beta-0)) f d(x) = integral_alpha^beta f(phi) phi' d(t), $
9
+
10
+
причем если существует один интеграл (в $overline(RR)$), то существует и другой.
Согласно формуле замены переменной в интеграле Римана (теорема 103), $Phi(gamma) = F(phi(gamma))$, $gammain (alpha, beta)$.
19
+
20
+
1. Пусть существует
21
+
22
+
$integral_(phi(alpha))^(phi(beta-0)) f d(x) = I inRR. $
23
+
24
+
Докажем, что второй интеграл тоже существует и равен $I$. Пусть $gamma_n in [alpha, beta)$, причем $gamma_n ->_(n->infinity)beta$. Тогда $phi(gamma_n) in [A, B)$ и $phi(gamma_n) ->_(n->infinity)phi(beta - 0)$. Значит,
25
+
26
+
$lim_(n->infinity)Phi(gamma_n) = lim_(n->infinity) F(phi(gamma_n)) = I. $
27
+
28
+
В силу произвольности последовательности $gamma_n$, приходим к требуемому.
29
+
30
+
2. Пусть теперь существует
31
+
32
+
$integral_alpha^beta f(phi)phi' d(t) = I inRR. $
33
+
34
+
Докажем, что второй интеграл тоже существует. Тогда, по уже доказанному в первом пункте, он равен $I$. Если $phi(beta - 0) in [A, B)$, то интеграл существует в собственном смысле, и доказывать нечего. Пусть теперь $phi(beta - 0) = B$. Пусть $C_n in [A, B)$, $C_n ->_(n->infinity) B$. Не нарушая общности можно считать, что $C_n in [phi(alpha), B)$. По теореме Больцано-Коши, найдутся точки $gamma_n in [alpha, beta)$, что $phi(gamma_n) = C_n$. Покажем, что $gamma_n ->_(n->infinity)beta$.
35
+
36
+
Если некоторая подпоследовательность $gamma_(n_k) ->_(k->infinity)tauin [alpha, beta)$, то, по непрерывности $phi$, $phi(gamma_(n_k)) ->_(k->infinity)phi(tau) < B$, что неверно. Значит, $gamma_n ->_(n->infinity)beta$ и
37
+
38
+
$lim_(n->infinity) F(C_n) = lim_(n->infinity)Phi(gamma_n) = I. $
= T38. Критерий сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции
4
+
*Критерий сходимости интеграла от знакопостоянной функции*
5
+
Пусть $f in R_"loc" (a, b)$, $f >= 0$. Тогда функция
6
+
7
+
$ F(omega) = integral_a^omega f d(x), quadomegain [a, b], $
8
+
9
+
возрастает, а сходимость интеграла
10
+
11
+
$integral_a^b f d(x) $
12
+
13
+
равносильна ограниченности функции $F(omega)$.
14
+
15
+
*Док-во:*
16
+
17
+
Ясно, что если $a <= omega_1 <= omega_2 < b$, то, так как $f >= 0$, по свойству интеграла Римана (теорема 95),
18
+
19
+
$integral_(omega_1)^(omega_2) f d(x) >= 0. $
20
+
21
+
Но тогда
22
+
23
+
$ F(omega_2) = integral_a^(omega_2) f d(x) = integral_a^(omega_1) f d(x) + integral_(omega_1)^(omega_2) f d(x) >= integral_a^(omega_1) f d(x) = F(omega_1), $
24
+
25
+
откуда $F(omega_2) >= F(omega_1)$, что и доказывает неубывание $F(omega)$.
26
+
Значит, вопрос сходимости несобственного интеграла, то есть вопрос существования конечного предела $F(omega)$ при $omega -> b - 0$, сводится к теореме Вейерштрасса (теорема 22). Как мы знаем, конечность предела (или сходимость заявленного интеграла) в этом случае равносильна ограниченности $F(omega)$.
= T39. Первый признак сравнения (с неравенством) для несобственного интеграла
4
+
*Признаки сравнения (пп 1-2)*
5
+
6
+
Пусть $f, g in R_"loc" [a, b]$ и $0 <= f <= g$ при $x in [a, b]$. Тогда:
7
+
8
+
1. Сходимость интеграла от $g$ по $[a, b]$ влечет сходимость интеграла от $f$ по $[a, b]$, то есть
9
+
$integral_a^b g d(x) < +infinity => integral_a^b f d(x) < +infinity. $
10
+
11
+
2. Расходимость интеграла от $f$ по $[a, b]$ влечет расходимость интеграла от $g$ по $[a, b]$, то есть
12
+
$integral_a^b f d(x) = +infinity => integral_a^b g d(x) = +infinity. $
13
+
14
+
*Док-во:*
15
+
16
+
1. Согласно предыдущей теореме, функция
17
+
$ F(omega) = integral_a^omega f d(x) $
18
+
19
+
не убывает с ростом $omega$. Используя монотонность интеграла Римана, а также используя теорему Вейерштрасса (теорема 22), при каждом $omegain [a, b]$ справедлива цепочка неравенств:
20
+
$ F(omega) = integral_a^omega f d(x) <= integral_a^omega g d(x) <= sup_(omegain [a, b])integral_a^omega g d(x) = integral_a^b g d(x) < +infinity, $
21
+
22
+
где последнее неравенство выполнено, согласно условию. Но тогда $F(omega)$ ограничена, а значит, по предыдущей теореме, интеграл от $f$ по $[a, b]$ сходится.
23
+
24
+
2. От противного. Пусть интеграл
25
+
$integral_a^b g d(x) $
26
+
27
+
сходится. Тогда, по только что доказанному первому пункту, сходится и
= T40. Второй признак сравнения (предельный) для несобственного интеграла
4
+
*Признаки сравнения (пп 3)*
5
+
6
+
Пусть $f, g in R_"loc" [a, b]$ и $0 <= f <= g$ при $x in [a, b]$. Тогда:
7
+
3. Если $f ~ g$ при $x -> b - 0$, то интегралы от $f$ и $g$ по $[a, b]$ сходятся или расходятся одновременно.
8
+
9
+
*Док-во:*
10
+
11
+
3. Согласно определению, эквивалентность $f$ и $g$ при $x -> b - 0$ означает, что существует такая функция $alpha$, что
12
+
$ f(x) = alpha(x)g(x), quad"при" x in U(b) union [a,b), quad"причем"lim_(x->b-0)alpha(x) = 1. $
13
+
14
+
Тогда существует $Delta > a$, что при $x in [Delta,b]$ выполняется неравенство
15
+
$ 1/2 <= alpha(x) <= 3/2, $
16
+
17
+
откуда, при $x in [Delta, b]$,
18
+
$ 1/2 g(x) <= f(x) <= 3/2 g(x). $
19
+
20
+
Кроме того, сходимость интегралов
21
+
$integral_a^b f d(x) quad"и"quadintegral_a^b g d(x) $
22
+
23
+
равносильна (лемма 82) сходимости интегралов
24
+
$integral_Delta^b f d(x) quad"и"quadintegral_Delta^b g d(x). $
25
+
26
+
Для последних же рассуждения проводятся с использованием пунктов 1 и 2 данной теоремы, опираясь на приведенное выше неравенство.
27
+
28
+
Скажем, если сходится интеграл от $g$ по $[Delta, b]$, то, используя правую часть полученного неравенства, сходится и интеграл от $f$ по $[Delta, b]$. Если же расходится интеграл от $f$ по $[Delta, b]$, то, опять же, используя правую часть того же самого неравенства, расходится и интеграл от $g$ по $[Delta, b]$. Аналогичные рассуждения относительно левого неравенства завершают доказательство.
Пусть $f in R_"loc" [a, b]$. Для того чтобы интеграл
7
+
$integral_a^b f d(x) $
8
+
сходился необходимо и достаточно, чтобы
9
+
$forallepsilon > 0 existsDeltain (a, b) : foralldelta_1, delta_2 in (Delta, b) abs( integral_(delta_1)^(delta_2) f d(x) ) < epsilon. $
10
+
11
+
*Док-во:*
12
+
13
+
Обозначим
14
+
$ F(omega) = integral_a^omega f d(x). $
15
+
16
+
Согласно определению, сходимость интеграла равносильна существованию предела функции $F(omega)$ при $omega -> b - 0$. Согласно критерию Коши существования предела функции (теорема 23), это выполнено тогда и только тогда, когда
17
+
$forallepsilon > 0 existsDeltain (a, b) : foralldelta_1, delta_2 in (Delta, b) spacespaceabs( F(delta_2) - F(delta_1) ) < epsilon. $
18
+
19
+
Последнее же неравенство, в силу свойств интеграла, переписывается как
0 commit comments