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Author: HumphreyYang

lectures/var_dmd.md

@@ -15,8 +15,8 @@ kernelspec:
 
 本节讲座中，我们将应用在 {doc}`奇异值分解 <svd_intro>` 中学到的计算方法来研究：
 
-* 一阶向量自回归(VARs)
-* 动态模态分解(DMDs)
+* 一阶向量自回归 (VARs)
+* 动态模态分解 (DMDs)
 * 一阶向量自回归和动态模态分解之间的联系
 
 ## 一阶向量自回归
@@ -33,11 +33,11 @@ $$
 X_t = \begin{bmatrix}  X_{1,t} & X_{2,t} & \cdots & X_{m,t}     \end{bmatrix}^\top 
 $$ (eq:Xvector)
 
-其中 $\cdot ^\top $ 表示复数转置<!-- 原文是“complex transpose”，似乎不是惯常表达，这里是想要表达“共轭转置”嘛？需不需要进一步解释 -->，$ X_{i,t} $ 是时间 $ t $ 时的变量 $ i $。 
+其中 $\cdot ^\top $ 表示共轭转置，$ X_{i,t} $ 是时间 $ t $ 时的变量 $ i $。 
 
 我们想要拟合方程 {eq}`eq:VARfirstorder`。
 
-我们的数据则组织在一个 $ m \times (n+1) $ 的矩阵 $ \tilde X $ 中
+我们的数据则存储在一个 $ m \times (n+1) $ 的矩阵 $ \tilde X $ 中
 
 $$
 \tilde X =  \begin{bmatrix} X_1 \mid X_2 \mid \cdots \mid X_n \mid X_{n+1} \end{bmatrix}
@@ -94,7 +94,7 @@ $$ (eq:commonA)
 
 在我们的两种情况下，广义逆矩阵适用的公式有所不同。
 
-**短胖情况：**
+**短胖型情况：**
 
 当$n >> m$时，即时间序列的观测值$n$远多于变量的数量$m$，且当$X$具有线性独立的**行**时，$X X^\top$的逆矩阵存在，且广义逆矩阵$X^+$为
 
@@ -150,7 +150,7 @@ $$
 
 再次重申，**高瘦**情况(见{doc}`奇异值分解<svd_intro>`)指观测的数量$n$相对于向量$X_t$属性的数量$m$较小时，我们想要拟合方程{eq}`eq:VARfirstorder`。
 
-我们面临着最小二乘估计量是欠定的，且回归方程完美拟合的事实。
+我们面临着最小二乘估计量是欠定的，且回归方程完全拟合的事实。
 
 接下来，我们想要更加高效地计算广义逆矩阵$X^+$。
 
@@ -227,17 +227,21 @@ $$ (eq:AhatSVDformula)
 
 ## 动态模态分解(DMD)
 
-我们继续关注与**动态模态分解**相关的$m >>n$**高瘦型**情况。
+接下来我们将研究一个特殊情况 -- 当变量数量$m >> n$时的情形。
 
-假设有一个$m \times n+1$的数据矩阵$\tilde X$，它包含了比时间周期$n+1$多得多的属性（或变量）$m$。
+**动态模态分解**可以用于处理这种"高瘦型"矩阵。
+
+假设有一个$m \times (n+1)$的数据矩阵$\tilde X$，它包含了比时间周期$n+1$多得多的属性（或变量）$m$。
 
 动态模态分解由{cite}`schmid2010`首次提出，
 
 你可以在 {cite}`DMD_book` 和 {cite}`Brunton_Kutz_2019`（第7.2节）中阅读有关动态模态分解的内容。
 
-如公式{eq}`eq:AhatSVDformula`所描述的，**动态模态分解**（DMD）的最小二乘回归系数$\hat A$的秩为$r < p$的近似。<!-- 这句话没太想明白怎么翻译通顺 -->
+**动态模态分解**（DMD）的目标是找到最小二乘回归系数矩阵$\hat A$的一个低秩近似，其中近似矩阵的秩$r$小于原始矩阵的秩$p$。
+
+这个近似可以通过公式{eq}`eq:AhatSVDformula`来构造。
 
-我们将逐步构建一种适合应用的表述。
+我们将逐步构建一种适合应用的表示。
 
 我们将通过三种不同的表示方式来描述一阶线性动态系统（即我们的向量自回归），从而实现这一点。
 
@@ -251,7 +255,7 @@ $$ (eq:AhatSVDformula)
 
 为此，我们需要使用与表示法3相关的**简化**SVD，而不是与表示法1和2相关的**完整**SVD。
 
-**给急躁读者的指南：** 在我们的应用中，我们将使用表示法3。
+**快速指南：** 如果您想直接应用这些方法，可以直接跳到表示法3。
 
 第一次阅读时，您可以跳过铺垫性的表示法1和2。
 
@@ -323,13 +327,13 @@ $$
 
 * 使用**完整**SVD而**不是**简化SVD
 
-正如我们在{doc}`奇异值分解<svd_intro>`课程中观察和阐述的：
+在{doc}`奇异值分解<svd_intro>`课程中我们学到:
 
   * (a) 对于完整SVD，$U U^\top = I_{m \times m}$和$U^\top U = I_{p \times p}$都是单位矩阵
   
   * (b) 对于$X$的简化SVD，$U^\top U$不是单位矩阵。
 
-我们稍后会看到，对于我们最终想要做的事情来说，完整SVD会过于局限，也就是说，我们将处理$U^\top U$**不是**单位矩阵的情况，因为我们使用$X$的简化SVD。
+这个区别很重要，因为我们后面会使用简化SVD而不是完整SVD。这意味着我们需要处理$U^\top U$不是单位矩阵的情况。
 
 但现在，让我们假设我们使用的是完整SVD，这样条件(a)和(b)都得到满足。
 
@@ -357,8 +361,7 @@ $$
 
 将上述方程两边同时乘以$W^{-1} U^\top $，得到：
 
-$$
-
+$
 W^{-1} U^\top  X_{t+1} = \Lambda W^{-1} U^\top  X_t 
 $$
 
@@ -422,7 +425,7 @@ $$
 
 是 $m \times n$ 矩阵 $X$ 在 $m \times p$ 矩阵 $\Phi_s$ 上的回归系数矩阵。
 
-我们将在讨论由 Tu 等人 {cite}`tu_Rowley` 提出的表示法3时，在相关背景下进一步讨论。
+我们将在讨论由 Tu 等人 {cite}`tu_Rowley` 提出的表示法3时进一步讨论。
 
 当我们想要使用简化SVD时（这在实践中经常出现），使用表示法3更为合适。
 
@@ -470,12 +473,9 @@ $$
 $$ (eq:tildeAverify)
 
 
- 
-
 接下来，我们将使用标准最小二乘公式计算$\hat A$在$\tilde U$上的投影的回归系数
 
 $$
-
 (\tilde U^\top  \tilde U)^{-1} \tilde U^\top  \hat A = (\tilde U^\top  \tilde U)^{-1} \tilde U^\top  X' \tilde V \tilde \Sigma^{-1} \tilde U^\top  = 
 \tilde U^\top  X' \tilde V \tilde \Sigma^{-1} \tilde U^\top   = \tilde A .
 $$
@@ -538,8 +538,6 @@ $$ (eq:Phiformula)
 这是Tu等人{cite}`tu_Rowley`证明的一个结果，我们下面来介绍。
 
 
-
-
 **命题** $\Phi$的$p$列是$\hat A$的特征向量。
 
 **证明：** 根据公式{eq}`eq:Phiformula`，我们有
@@ -640,21 +638,14 @@ $$ (eq:orthls)
 重新整理正交条件 {eq}`eq:orthls` 得到 $X^\top \Phi = \check b \Phi^\top \Phi$，这就推导出公式 {eq}`eq:checkbform`。
 
 
-
-
-
 ### 一种近似方法
 
-
-
 我们现在描述一种不使用公式 {eq}`eq:decoder102`的近似计算 $p \times 1$ 的向量 $\check b_t$ 的方法。
 
 具体来说，以下论述改编自 {cite}`DDSE_book`（第240页）提供的一种高效计算方法，从而近似 $\check b_t$。
 
 为方便起见，我们将在时间 $t=1$ 应用该方法。
 
-
-
 对于 $t=1$，根据方程 {eq}`eq:Xbcheck`，我们有
 
 $$ 
@@ -737,7 +728,6 @@ $$ (eq:checkXevoln2)
 然后我们可以使用解码后的 $\check X_{t+j}$ 或 $\hat X_{t+j}$ 来预测 $X_{t+j}$。
 
 
-
 ### 使用更少的模态
 
 在实际应用中，我们通常只使用少数几个模态，通常不多于三个。
@@ -748,13 +738,9 @@ $$ (eq:checkXevoln2)
 
 在这种情况下，我们只需将 $\tilde \Sigma$ 替换为相应的 $r\times r$ 奇异值矩阵，将 $\tilde U$ 替换为对应于 $r$ 个最大奇异值的 $m \times r$ 的矩阵，将 $\tilde V$ 替换为对应于 $r$ 个最大奇异值的 $n \times r$ 的矩阵。
 
-
 上述所有重要公式都有其对应的形式。
 
 
-
 ## Python代码来源
 
-你可以在这里找到DMD的Python实现：
-
-https://mathlab.sissa.it/pydmd
+你可以在[这里](https://mathlab.sissa.it/pydmd)找到DMD的Python实现。