proofread Fourier_1, section 1 thoroughly

Author: govin08

_posts/2024-10-05-Fourier_1.md

@@ -175,7 +175,7 @@ $$
 .\qquad(0\le x\le \pi)
 $$
 
-We analyze and solve the standard one and simply apply change of variables for the general cases.
+We analyze and solve the standard one and simply change variables for the general cases.
 
 Consider a physical problem of a string where $0\le x\le \pi$ :
 
@@ -207,14 +207,22 @@ traveling wave와 정상파(standing wave)의 두 가지 방법을 사용해서
 traveling wave의 방법은 $u(x,t)$가 적절한 함수 $F$, $G$에 대하여 $u(x,t)=F(x+t)+G(x-t)$로 표현될 수 있음에 기반한다.
 이때 적절한 변수변환이 사용된다.
 여기에 경계조건과 초기조건을 적용시키면 $F$와 $G$를 특정할 수 있는 것이다.
-달랑베르(D'Alembert)와 오일러(Euler)가 각각 1747년, 1748년에 traveling wave를 사용하여 파동방정식을 풀어냈다고 되어 있다.
+달랑베르(D'Alembert)와 오일러(Euler)가 각각 1747년, 1748년에 이 방법을 사용하여 파동방정식을 풀어냈다고 되어 있다.
 <br><br>
 정상파의 방법은 파동방정식의 양변을 각각 분리된 두 변수 $x$와 $t$로만 표현시키고 이를 simple harmonic motion에서 나온 미분방정식으로 만들어서 푼다.
 이를 통해 보면 사인과 코사인 (혹은 지수함수쌍)으로 이루어진 함수들이 특정한 해인 것을 유도할 수 있고, 이 해들로 중첩한 것이 일반해인 것을 가정한다.
 중첩에 사용되는 계수들(Fourier coefficient)은 초기조건으로부터 특정할 수 있는데, 간단한 적분을 통해 얻을 수 있다.
 이러한 모든 이야기가 성립하기 위해서는, 어떤 함수 $f$가 주어졌을 때, 그 함수를 sine series와 cosine series 로 표현하는 것이 가능해야 한다.
 이 문제는 이 책 전반에서 다루어질 중요한 질문이라는 점이 강조되어 언급된다.
 이러한 정상파의 방법은 traveling wave의 방법보다 더 일반적이고 더 많은 활용을 가능하게 하며, 푸리에(Fourier)가 1807년에 발전시켰다.
+<br><br>
+정상파의 방법이 워낙 정석적인 방법으로 알려져 있어서 traveling wave의 방법은 보통 많이 언급되지 않는 것 같다.
+(적어도 나는 처음 봤다.)
+다만, traveling wave의 방법은 꽤 elementary한 방법이라 그런지 처음부터 끝까지 다 증명되어 있고 설명되어 있다.
+하지만 정상파의 방법은 증명의 많은 부분이 생략되어 있다.
+첫째로, 맨 처음에 변수를 분리하는 가정을 세우고 있는데 이 가정은 일반적인 가정일 수 없다.
+둘째로, 각 정수 $m$에 대하여 $u_m$이 특정한 해가 될 수 있다는 점이 언급된 이후에 이것들의 infinite linear combination이 일반해임을 주장하고 있는데, 이 가정 또한 나중에 설명이 필요할 것이다.
+이렇게 생략된 부분들이 책의 나머지 부분에서 어떻게 엄밀하게 설명될지 기대된다.
 </div>
 
 <!-- There are two kinds of solution to the wave equation ; -->
@@ -227,6 +235,7 @@ We can get two kinds of solution to the wave equation ;
 We claim that (a) has the general solution of the form
 
 <div class="notice--success" markdown="1">
+<b>d'Alembert's formula</b>
 
 $$
 u(x,t) = \frac12\left[f(x+t)+f(x-t)\right]+\frac12\int_{x-t}^{x+t}g(y)\,dy.
@@ -247,8 +256,8 @@ By direct calculations,
 
 $$
 \begin{align*}
-u_{tt}&=\frac12\left[f''(x+t)+f''(x-t)\right]+\frac12\left[g'(x+t)-g'(x-t)\right]\,dy\\
-u_{xx}&=\frac12\left[f''(x+t)+f''(x-t)\right]+\frac12\left[g'(x+t)-g'(x-t)\right]\,dy
+u_{tt}&=\frac12\left[f''(x+t)+f''(x-t)\right]+\frac12\left[g'(x+t)-g'(x-t)\right]\\
+u_{xx}&=\frac12\left[f''(x+t)+f''(x-t)\right]+\frac12\left[g'(x+t)-g'(x-t)\right]
 \end{align*}
 $$
 
@@ -267,7 +276,7 @@ For the boundary conditions, first note that
 $f(\pi-s)=-f(-\pi+s)=-f(\pi+s)$
 and
 $g(\pi-s)=-g(-\pi+s)=-g(\pi+s)$ for real $s$.
-That is, $y=f(x)$ is symmetric not only about the origin, but also about $(\pi,0)$
+That is, $y=f(x)$ is symmetric not only about the origin, but also about $(\pi,0)$.
 Then
 
 $$
@@ -327,7 +336,7 @@ For any $\xi$, there exists $\zeta$ between $0$ and $\xi$ such that
 
 $$
 \frac{\frac{\partial}{\partial\eta}v(\xi,\eta) - \frac{\partial}{\partial\eta}v(0,\eta)}{\xi}=
-\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{\partial}{\partial\eta}v(\zeta,\eta)=0
+\left.\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{\partial}{\partial\eta}v(\xi,\eta)\right|_{\xi=\zeta}=0
 $$
 
 by the mean value theorem.
@@ -358,7 +367,7 @@ Differentiate the first equation and use it to add or substract to the second, t
 $$
 \begin{aligned}
 F'(x)&=\frac12\left[f'(x)+g(x)\right]\\
-G'(x)&=\frac12\left[f'(x)-g(x)\right]
+G'(x)&=\frac12\left[f'(x)-g(x)\right].
 \end{aligned}
 $$
 
@@ -384,10 +393,13 @@ u(x,t)
 &=F(x+t)+G(x-t)\\
 &=\frac12f(x+t)+\frac12\int_0^{x+t}g(y)\,dy+C_1
 +\frac12f(x-t)-\frac12\int_0^{x-t}g(y)\,dy+C_2\\
-&=\frac12\left[f(x+t)+f(x-t)\right]+\frac12\int_{x-t}^{x+t}g(y)\,dy.
+&=\frac12\left[f(x+t)+f(x-t)\right]+\frac12\int_{x-t}^{x+t}g(y)\,dy
 \end{aligned}
 $$
 
+and d'Alembert's formula is now derived.
+<a href="#" class="btn btn--primary">QED</a>
+
 <p class='text-size-12'> A solution using the superposition of standing waves </p>
 
 We claim that (a) has the general solution of the form
@@ -440,7 +452,7 @@ $$
 $$
 
 by 3.6, where $m^2=-\lambda$.
-We exckyde the case when $\lambda\lt0$ since $e^{rx}$ and $e^{-rx}$ are not oscillatory (See Appendix).
+We exclude the case when $\lambda\le0$ since $e^{rx}$ and $e^{-rx}$ are not oscillatory (See Appendix).
 Apply the boundary condition of (a).
 Since the string has zero displacement at $x=0$,
 
@@ -460,10 +472,6 @@ $$u_m(x,t)=\sin mx\left(A\cos mt + B\sin mt\right)$$
 
 is a solution to the wave equation with the boundary condition.
 
-<!-- Let
-
-$$u_m(x,t)=\sin mx\left(A_m\cos mt + B_m\sin mt\right)$$ -->
-
 <div class="notice--info" markdown="1">
 <b>Remark </b> <br>
 Let, for example, $A_m=1$, $B_m=0$.
@@ -489,7 +497,7 @@ Thus,
 $$u(x,t)=\sum_{m=-\infty}^\infty\sin mx\left(A_m\cos mt+B_m\sin mt\right)$$
 
 also satisfy the wave equation with the boundary condition.
-Suppose that this solution is the general one.
+Suppose that this solution is the general one (we omit the proof here).
 Since $u_m=0$ for $m=0$ and
 
 $$
@@ -500,11 +508,11 @@ u_{-m}(x,t)
 \end{aligned}
 $$
 
-we can write, alternatively as
+we can write alternatively as
 
 $$u(x,t)=\sum_{m=1}^\infty\sin mx\left(A_m\cos mt+B_m\sin mt\right)\tag4$$
 
-for different $A_m$ and $B_m$.
+for different $A_m$'s and $B_m$'s.
 By the initial displacement condition $u(x,0)=f(x)$ and by the initial velocity condition $u_t(x,0)=g(x)$
 
 $$
@@ -514,7 +522,7 @@ g(x)&=\sum_{m=1}^\infty mB_m\sin mx.
 \end{aligned}
 $$
 
-Multiplying $\sin nx$ and integrating over $[0,\pi]$ for $n\ge1$,
+Multiplying $\sin nx$ and integrating over $[0,\pi]$ for $n\ge1$ (refer to 3.5 for similar calculations),
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -541,6 +549,7 @@ B_n&=\frac2{n\pi}\int_0^\pi g(x)\sin nx\,dx.
 $$
 
 These are called Fourier sine coeffcient of $f$ and the claim is now proved.
+<a href="#" class="btn btn--primary">QED</a>
 
 Note that the above arguments assume that a *reasonable* function $f$ on $[0,\pi]$ can be expressed as a sine series ; 
 
@@ -599,15 +608,41 @@ a_n = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi F(x)e^{-inx}\,dx.
 $$
 
 Such $a_n$ is called the *Fourier coefficient* of $F$.
+To sum up, we are confronted with following (open) theory.
+
+<div class="notice--success" markdown="1">
+If $F:\mathbb R\to\mathbb R$ is a *reasonable* function which is $2\pi$-periodic, it can be expressed as a sine-cosine series
+
+$$
+F(x) =\sum_{m=1}^\infty\left(A_m\sin mx + A'_m\cos mx\right)
+$$
+
+or, as a exponential series
+
+$$
+F(x) =\sum_{m=-\infty}^\infty a_me^{imx}.
+$$
+
+$A_m$, $A'_m$ and $a_m$ are sometimes called Fourier sine coefficients, Fourier cosine coefficients or Fourier coefficients of $F$, respectively and they can be obtained by a simple integration over $[-\pi, \pi]$.
+
+</div>
+
+
 
 ### 1.3 Example : The plucked string
 
 <div class="notice--info" markdown="1">
 1.3절에서는 간단하지만 nontrivial한 예제에 대해 이 문제를 적용해본다.
 계산을 통해 정상파의 방법으로 wave equation 문제를 풀어낼 수 있고, 이 해가 traveling wave의 방법에서 제시한 형태의 해와도 일맥상통함을 알 수 있다.
+<br><br>
+재밌는건 이 예제는 사실 문제 (a)에 대한 적절한 예시일 수 없다.
+왜냐하면 (a)에서는 $u$가 두 번 미분가능해야 하는데, 이 예제에서는 $f$가 $x$에 대하여 미분불가능하기 때문이다.
+$f$가 $u$의 restriction임을 감안하면, 이 예제는 (a)의 가정을 만족시키는 예제는 아닌 것이다.
+그럼에도 불구하고 (혹은 그러므로) 이 예제는 많은 부분을 시사할 수 있다는 점이 언급되고 있다.
+
 </div>
 
-Consider the case when the initial string is located as the two line segments
+Consider the case when the initial string is composed of two line segments
 
 $$
 f(x)
@@ -618,16 +653,16 @@ f(x)
 $$
 
 and when there is no initial movement ; $g(x)=0$.
-Following (c),
+By 3.9,
 
 $$
-f(x)=\sum_m A_m\sin mx,\quad
 A_m=\frac{2h\sin mp}{m^2p(\pi-p)}
+\quad\text{where}\quad
+f(x)=\sum_m A_m\sin mx.
 $$
 
-by 3.9.
 Since $g(x)=0$, $B_m=0$ for all $m$.
-Thus (4) now reduces to 
+Thus (c) now reduces to 
 
 $$
 \begin{aligned}