untill the kappa integration

Author: govin08

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@@ -161,7 +161,9 @@ $$
 >
 > $$\int_I|\alpha(t)|\,dt=\int_I|\beta(t)|\,dt.$$
 
-## 2. 풀이
+# 2. 풀이
+
+## 2.1 문제 묘사
 
 [Ted Shifrin](https://math.stackexchange.com/users/71348/ted-shifrin)의 풀이를 그대로 옮겨 써보려 한다.
 시간 $s$에서 자동차의 왼쪽 바퀴의 위치를 $\beta_-(s)$ 오른쪽 바퀴의 위치를 $\beta_+(s)$라고 하자.
@@ -175,13 +177,83 @@ $$\alpha = \frac{\beta_-+\beta_+}2$$
 $$\alpha'\perp\beta_-\beta_+$$
 
 이다.
-일반성을 잃지 않고 모든 $t$에 대하여 $\left|\left|\alpha'(t)\right|\right|=1$이라고 하면, $T(s)=\alpha'(s)$가 된다.
-$T(s)$를 양의방향(시계반대방향)으로 회전한 벡터를 $N(s)$라고 하면 $T(s)$와 $N(s)$는 평면의 orthonormal basis를 이룬다.
+일반성을 잃지 않고 모든 $s$에 대하여 $\left|\left|\alpha'(s)\right|\right|=1$이라고 하고 $T(s)$를 $T(s)=\alpha'(s)$라고 정의하면 이것은 $\alpha$에 대한 통상적인 unit tangent vector가 된다.
 
-$$T\circ T = \left|\left|T\right|\right|^2=1$$
+$$T\cdot T = \left|\left|T\right|\right|^2=1$$
 
 의 양변을 미분하면
 
-$$T\circ T' + T'\circ T=0$$,
+$$T\cdot T' + T'\cdot T=0,$$
+
+즉, $T\cdot T'=0$이다.
+$T(s)$를 양의방향(시계반대방향)으로 회전한 벡터를 $N(s)$라고 하면 이것은 통상적인 unit normal vector가 되며, 앞서 논리와 마찬가지로 하면 $N\cdot N'=0$이다.
+또한, $T(s)$와 $N(s)$는 평면의 orthonormal basis를 이루고 따라서
+
+$$T'(s)=\kappa(s)N(s)$$
+
+를 만족시키는 실수 $\kappa(s)$가 존재한다.
+$\kappa(s)$는, 말하자면 부호가 존재하는 곡률이다.
+그러면
+
+$$0=(T\cdot N)'=T'\cdot N + T\cdot N' = \kappa+T\cdot N'$$
+
+에서
+
+$$\kappa = -T\cdot N'$$
+
+이고
+
+$$
+\begin{align*}
+N'
+&=(N'\cdot N)N + (N'\cdot T)T\\
+&=0 + (-\kappa T)\\
+&=-\kappa T
+\end{align*}
+$$
+
+이다.
+양 바퀴 사이의 거리를 $2\lambda$라고 하면
+
+$$
+\begin{align*}
+\beta_+ &= \alpha + \lambda N\\
+\beta_- &= \alpha - \lambda N
+\end{align*}
+$$
+
+이다.
+
+## 2.2 거리 계산
+
+$|\beta_{\pm}'|$를 일정한 폐구간 사이에서 적분하면 각 바퀴가 이동한 거리가 나온다.
+이를 위해 $\beta_{\pm}'$를 먼저 계산하면 각각
+
+$$
+\begin{align*}
+\beta_+'
+&=\left(\alpha + \lambda N\right)'\\
+&=\alpha' + \lambda N'\\
+&=T - \lambda\kappa T\\
+&=(1-\lambda\kappa)T\\
+\beta_-'
+&=\left(\alpha - \lambda N\right)'\\
+&=\alpha' - \lambda N'\\
+&=T + \lambda\kappa T\\
+&=(1+\lambda\kappa)T\\
+\end{align*}
+$$
 
-즉, 모든 $s$에 대하여 $T(s)T'(s)=0$이고 $T(s)\perp T'(s)$이다.
+이다.
+만약 곡률반지름이 커서 곡률 $\vert\kappa\vert$의 절댓값이 적고, 그로인해 $1\pm\lambda\kappa>0$이 만족된다고 가정하자.
+그러면 오른족 바퀴가 이동한 거리는
+
+$$
+\begin{align*}
+\int\left|\beta_+(s)\right|\,ds
+&=\int\left|\left(1-\lambda\kappa(s)\right)T\right|\,ds\\
+&=\int\left(1-\lambda\kappa(s)\right)\,ds\\
+&=\int\,ds -\int\lambda\kappa(s)\,ds\\
+&\stackrel{\ast}=\int\,ds
+\end{align*}
+$$