wheels problem finished anyway

Author: govin08

_posts/2025-03-17-wheels.md

@@ -151,67 +151,61 @@ $$
 하지만, 또한 생각해보면, 예시 상황에서의 두 곡선의 길이가 같다면 곡률이 연속적으로 변하는 상황을 가정한다고 하더라도 여전히 두 곡선의 길이는 무한소의 상황에서도 잘 상쇄되어 같아지 않을까 하고 추정해볼 수 있을 것이다.
 또한 만약 꼭 두 길이가 같지 않다면 어떤 경우에 같지 않은지도 생각해볼 수 있을 것이다.
 
-## 1.3 수학적인 묘사
+<!-- ## 1.3 수학적인 묘사
 
 이 문제는 아주 실용적인 문제라 할 만하지만, 순수하게 수학적인 문제로 여길 수도 있다.
 즉, 다음과 같은 문제로 치환될 수 있을 것이다.
 
 > 폐구간 $I$에서 정의된 미분가능한 2차원 곡선 $\alpha:I\to\mathbb R^2$, $\beta:I\to\mathbb R^2$이 있다.
 > 모든 $t\in I$에 대하여 $\left|\alpha'(t)\right|\gt0$, $\left|\beta'(t)\right|\gt0$이고 $\alpha'(t)\parallel\beta'(t)$이며 $\left|\alpha(t)-\beta(t)\right|=2\lambda$일 때, 다음이 성립합니다;
 >
-> $$\int_I|\alpha(t)|\,dt=\int_I|\beta(t)|\,dt.$$
+> $$\int_I|\alpha(t)|\,dt=\int_I|\beta(t)|\,dt.$$ -->
 
 # 2. 풀이
 
 (2025년 8월 27일에 다시 쓰기 시작)
 
-## 2.1 문제 상황 묘사 및 계산
+## 2.1 문제 상황 묘사
 
-[Ted Shifrin](https://math.stackexchange.com/users/71348/ted-shifrin)의 풀이를 그대로 옮겨 써보려 한다.
+[Ted Shifrin](https://math.stackexchange.com/users/71348/ted-shifrin)의 풀이를 따라 적어보려 한다.
 시간 $s$에서 자동차의 왼쪽 바퀴의 위치를 $\beta_-(s)$ 오른쪽 바퀴의 위치를 $\beta_+(s)$라고 하자.
-또한, 자동차 뒷바퀴의 중심의 위치를 $\alpha(s)$라고 하자.
-그러면
-
+자동차 뒷바퀴의 중심의 위치는 $\alpha(s)$라고 하고 $\alpha$가 매끄러운(smooth) 곡선이라고 하자.
+<!-- 그러면
 $$\alpha = \frac{\beta_-+\beta_+}2$$
-
 이고
-
 $$\alpha'\perp\beta_-\beta_+$$
-
-이다.
-일반성을 잃지 않고 모든 $s$에 대하여 $\left|\left|\alpha'(s)\right|\right|=1$이라고 하고 $T(s)$를 $T(s)=\alpha'(s)$라고 정의하면 이것은 $\alpha$에 대한 통상적인 principal unit tangent vector가 된다.
+이다. -->
+일반성을 잃지 않고 모든 $s$에 대하여 $\left|\left|\alpha'(s)\right|\right|\ne0$이라고 하자.
+$T(s)$를 $T(s)=\frac{\alpha'(s)}{\lvert\alpha'(s)\rvert}$라고 정의하면 $T$는 통상적인 principal unit tangent vector가 된다.
 
 $$T\cdot T = \left|\left|T\right|\right|^2=1$$
 
-의 양변을 미분하면
+의 양변을 미분하면 $T\cdot T'=0$이고 $T\perp T'$이다.
+$T(s)$를 양의방향(시계반대방향)으로 $\frac\pi2$만큼 회전한 벡터를 $N(s)$라고 하면
+$N$은 이것은 통상적인 principal unit normal vector이고 <!--앞서 논리와 마찬가지로 하면 $N\cdot N'=0$이다. -->
+<!-- 또한, $T(s)$와 $N(s)$는 평면의 orthonormal basis를 이루고 따라서 -->
 
-$$T\cdot T' + T'\cdot T=0,$$
-
-즉, $T\cdot T'=0$이다.
-$T(s)$를 양의방향(시계반대방향)으로 회전한 벡터를 $N(s)$라고 하면 이것은 통상적인 principal unit normal vector가 되며, 앞서 논리와 마찬가지로 하면 $N\cdot N'=0$이다.
-또한, $T(s)$와 $N(s)$는 평면의 orthonormal basis를 이루고 따라서
-
-$$T'(s)=\kappa(s)N(s)$$
+$$T'(s)=\kappa(s)N(s)\tag{1}$$
 
 를 만족시키는 실수 $\kappa(s)$가 존재한다.
 $\kappa(s)$는, 말하자면 부호가 존재하는 곡률이다.
 그러면
 
-$$0=(T\cdot N)'=T'\cdot N + T\cdot N' = \kappa+T\cdot N'$$
-
-에서
-
-$$\kappa = -T\cdot N'$$
+$$
+\kappa(s) = \kappa(s)\left(N(s)\cdot N(s)\right)=\left(\kappa(s)N(s)\right)\cdot N(s)=T'(s)\cdot N(s)
+\tag{2}
+$$
 
-이고
+이다.
 
 $$
-\begin{align*}
+\begin{aligned}
 N'
 &=(N'\cdot N)N + (N'\cdot T)T\\
 &=0 + (-\kappa T)\\
 &=-\kappa T
-\end{align*}
+\end{aligned}
+\tag{3}
 $$
 
 이다.
@@ -231,75 +225,132 @@ $|\beta_{\pm}'|$를 일정한 폐구간 사이에서 적분하면 각 바퀴가
 
 $$
 \begin{align*}
-\beta_+'
-&=\left(\alpha + \lambda N\right)'\\
-&=\alpha' + \lambda N'\\
-&=T - \lambda\kappa T\\
-&=(1-\lambda\kappa)T\\
-\beta_-'
-&=\left(\alpha - \lambda N\right)'\\
-&=\alpha' - \lambda N'\\
-&=T + \lambda\kappa T\\
-&=(1+\lambda\kappa)T\\
+\beta_\pm'
+&=\left(\alpha \pm \lambda N\right)'\\
+&=\alpha' \pm \lambda N'\\
+&\stackrel{(3)}=T \mp \lambda\kappa T\\
+&=(1\mp\lambda\kappa)T
 \end{align*}
 $$
 
 이다.
-만약 곡률반지름이 커서 곡률 $\vert\kappa\vert$의 절댓값이 적고, 그로인해 $1\pm\lambda\kappa>0$이 만족된다고 가정하자.
-그러면 오른쪽 바퀴가 이동한 거리는
+만약 곡률반지름이 커서 곡률 $\vert\kappa\vert$의 절댓값이 적고, 그로 인해 $1\pm\lambda\kappa>0$이 만족된다고 가정하자.
+그러면 각 바퀴가 이동한 거리는
 
 $$
 \begin{align*}
-\int\left|\beta_+(s)\right|\,ds
-&=\int\left|\left(1-\lambda\kappa(s)\right)T\right|\,ds\\
-&=\int\left(1-\lambda\kappa(s)\right)\,ds\\
-&=\int\,ds -\lambda\int\kappa(s)\,ds\\
-%&\stackrel{\ast}=\int\,ds
+\int_{s_1}^{s_2}\left|\beta_\pm(s)\right|\,ds
+&=\int_{s_1}^{s_2}\left|\left(1\mp\lambda\kappa(s)\right)T\right|\,ds\\
+&=\int_{s_1}^{s_2}\left(1\mp\lambda\kappa(s)\right)\,ds\\
+&=\int_{s_1}^{s_2}\,ds\mp\lambda\int_{s_1}^{s_2}\kappa(s)\,ds\\
+%&\stackrel{\ast}=\int_{s_1}^{s_2}\,ds
 \end{align*}
 $$
 
-이고 마찬가지로 왼쪽 바퀴가 이동한 거리는
+<!-- 이고 마찬가지로 왼쪽 바퀴가 이동한 거리는
 
 $$
-\int\left|\beta_+(s)\right|\,ds
-=\int\,ds +\lambda\int\kappa(s)\,ds
-$$
+\int_{s_1}^{s_2}\left|\beta_+(s)\right|\,ds
+=\int_{s_1}^{s_2}\,ds +\lambda\int_{s_1}^{s_2}\kappa(s)\,ds
+$$ -->
 
+이다.
 이 문제에서의 핵심은 두 식의 오른쪽 부분에서 등장하는 적분이 0이 된다는 것이다.
 
 $$
-\int\kappa(s)\,ds\tag{$\ast$} = 0 
+\int_{s_1}^{s_2}\kappa(s)\,ds\tag{4} = 0 
 $$
 
-정확하게는, 운행을 멈췄을 때 자동차가 향하는 방향이 운행을 시작했을 때 자동차가 향하는 방향과 같고 운행중에 완전히 회전하지 않았다는 가정 하에 $(\ast)$가 성립한다는 것이다.
-따라서 이 문제는 식 $(\ast)$을 증명하는 문제로 한원된다.
+정확하게는, 운행을 멈췄을 때 자동차가 향하는 방향이 운행을 시작했을 때 자동차가 향하는 방향과 같고 운행중에 완전히 회전하지 않았다는 가정 하에 $(4)$가 성립한다는 것이다.
+따라서 이 문제는 식 $(4)$을 증명하는 문제로 한원된다.
 
-## 2.2 total curvature
+## 2.2 예시
 
-곡선 $\alpha:[a,b]\to\mathbb R^2$에 대하여 해당 적분값을 구해보자.
+곡선 $\alpha:[s_1,s_2]\to\mathbb R^2$에 대하여 해당 적분값을 구해보자.
 
-### 2.3.1 직선적으로 움직이는 물체
-$\alpha$를 $(m_0,n_0)$에서 출발하여 $(m,n)$의 방향으로 향하는 직선이라고 하자($a\le s\le b$).
-$\alpha(s)=(m_0+ms,n_0+ns)$이고 $T=(m,n)$이고 $\sqrt{m^2+n^2}=1$이다. 
+### 2.3.1 직진하는 자동차
+
+$\alpha$를 $(m_0,n_0)$에서 출발하여 $(m,n)$의 방향으로 향하는 직선이라고 하자($s_1\le s\le s_2$).
+$\alpha(s)=(m_0+m(s-s_1),n_0+n(s-s_1))$이고 $T=(m,n)$이고 $\sqrt{m^2+n^2}=1$이다. 
 $N=(-n,m)$, $T'=(0,0)$에서 $\kappa=0$이다.
-이 문제는 시작점과 종료점에서 향하는 방향이 같으며 식 $(\ast)$의 값은 
+이 문제는 시작점과 종료점에서 향하는 방향이 같으며 식 $(4)$의 값은 
 
 $$
-\int_a^b\kappa(s)\,ds\tag{$\ast$}
-=\int_a^b0\,ds=0 
+\int_{s_1}^{s_2}\kappa(s)\,ds
+=\int_{s_1}^{s_2}0\,ds=0 
 $$
 
 가 된다.
 
-### 2.3.2 반원 위를 움직이는 물체
-$\alpha$를 $(1,0)$에서 출발하여 일정한 속력으로 단위원을 따라 $(-1,0)$에서 멈추는 곡선이라고 하자.
+### 2.3.2 반원 위를 움직이는 자동차
+$\alpha$를 $(1,0)$에서 출발하여 일정한 속력 $1$로 단위원을 따라 $(-1,0)$에서 멈추는 곡선이라고 하자.
 $\alpha(s)=(\cos s,\sin s)$이고 $T=(-\sin s,\cos s)$이고 $0\le s\le\pi$이다. 
 $N=(-\cos s,-\sin s)$, $N'=(\sin s,-\cos s)$이다.
-그러면 이 문제는 시작점과 종료점에서 향하는 방향이 반대이고  $\kappa(s) = -T\cdot N'=1$이며 식 $(\ast)$의 값은 
+그러면 이 문제는 시작점과 종료점에서 향하는 방향이 반대이고  $\kappa(s) = -T\cdot N'=1$이며 식 $(4)$의 값은 
 
 $$
-\int_0^\pi\kappa(s)\,ds\tag{$\ast$}
+\int_0^\pi\kappa(s)\,ds
 =\int_0^\pi1\,ds=\pi 
 $$
 
 가 된다.
+
+## 2.3 total curvature
+
+식 (4)와 같은 식은 [total curvature](https://en.wikipedia.org/wiki/Total_curvature)라고 불린다.
+폐구간 $[s_1, s_2]$의 시작점 $s_1$에 대하여 $T(s_1)=\left(\cos\theta_1,\sin\theta_1\right)$을 만족시키는 $\theta_1=\theta(s_1)\in[0,2\pi)$가 존재한다.
+$\alpha$의 smoothness로부터 $T$도 smooth하고, 따라서 모든 $s$에 대하여
+
+$$T(s)=\left(\cos(\theta(s)),\sin(\theta(s))\right)$$
+
+을 만족시키는 연속함수 $\theta:[s_1,s_2]\to\mathbb R$가 존재한다.
+
+각각의 $s$에 대하여
+
+$$
+\begin{bmatrix}\cos\frac\pi2&-\sin\frac\pi2\\\sin\frac\pi2&\cos\frac\pi2\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{bmatrix},
+$$
+
+로부터 $N(s)=(-\sin\theta,\cos\theta)$이다.
+또한 $T'(s)$를 계산하면
+
+$$T'(s)=\frac1{ds}(\cos\theta,\sin\theta)=\frac{d\theta}{ds}(-\sin\theta,\cos\theta).$$
+
+이므로 식 (1) 또는 (2)로부터
+
+$$\kappa(s)=\frac{d\theta}{ds}\tag{5}$$
+
+가 얻어진다.
+그러면, 문제의 가정으로부터 $\theta_1=\theta_2$이므로
+
+$$
+\begin{align*}
+\int_{s_1}^{s_2}\kappa(s)\,ds
+&=\int_{s_1}^{s_2}\frac{d\theta}{ds}\,ds\\
+&=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\,d\theta\\
+&=\theta_2-\theta_1\\
+&=0
+\end{align*}
+$$
+
+이 된다.
+따라서, 주어진 가정이 만족되면 왼바퀴와 오른바퀴가 이동한 거리는 같게 된다.
+
+# 3. 후기
+
+처음 문제를 생각한 건 3월이었고, 당시에는 핵심 내용이었던 total curvature를 이해하지 못했었다.
+8월에 이것저것 찾아보다가 식 (5)를 어딘가에서 보게 되었다.
+어젯밤에, $T$가 단위벡터이니 $\theta$로 표현될 수 있음을 이용해 (5)를 증명하려 했으나 실패했다가, 오늘(8/30) 다시 증명해보니 증명이 되는 듯했다.
+
+하지만, $\theta$라는 함수가 어떻게하면 엄밀하게 묘사될 수 있는지는 정확하게 이해하지 못했다.
+이에 관해서도 [질문](https://math.stackexchange.com/q/5093308/746048)을 올려봤으나 아직까지 (8/31) 답이 달리지는 않고 있다.
+
+또한, 내가 다룬 것은 곡률이 작아 $\lvert\kappa\rvert\lt\frac1\lambda$인 경우만을 다루었다.
+곡률의 절댓값이 $\frac1\lambda$보다 큰 경우는 어렵고, TedShifrin이 이에 관해서도 적어놓았지만 이해가 가지는 않는다.
+대학 2학년때 K교수님 수업에서 다뤘던 문제에서도 곡률이 너무 크면 계산이 어려웠었는데, 그와 같은 맥락이라고 할 수 있겠다.
+
+그래서, 아무튼 어느 정도까지는 엄밀하게 해당 문제를 풀었다고 생각된다.
+결국 *두 바퀴가 이동한 거리는 같다*.