wheel : 2.1, 2.2

Author: govin08

_posts/2025-03-17-wheels.md

@@ -163,7 +163,7 @@ $$
 
 # 2. 풀이
 
-## 2.1 문제 묘사
+## 2.1 문제 상황 묘사 및 계산
 
 [Ted Shifrin](https://math.stackexchange.com/users/71348/ted-shifrin)의 풀이를 그대로 옮겨 써보려 한다.
 시간 $s$에서 자동차의 왼쪽 바퀴의 위치를 $\beta_-(s)$ 오른쪽 바퀴의 위치를 $\beta_+(s)$라고 하자.
@@ -224,8 +224,6 @@ $$
 
 이다.
 
-## 2.2 거리 계산
-
 $|\beta_{\pm}'|$를 일정한 폐구간 사이에서 적분하면 각 바퀴가 이동한 거리가 나온다.
 이를 위해 $\beta_{\pm}'$를 먼저 계산하면 각각
 
@@ -246,14 +244,60 @@ $$
 
 이다.
 만약 곡률반지름이 커서 곡률 $\vert\kappa\vert$의 절댓값이 적고, 그로인해 $1\pm\lambda\kappa>0$이 만족된다고 가정하자.
-그러면 오른족 바퀴가 이동한 거리는
+그러면 오른쪽 바퀴가 이동한 거리는
 
 $$
 \begin{align*}
 \int\left|\beta_+(s)\right|\,ds
 &=\int\left|\left(1-\lambda\kappa(s)\right)T\right|\,ds\\
 &=\int\left(1-\lambda\kappa(s)\right)\,ds\\
-&=\int\,ds -\int\lambda\kappa(s)\,ds\\
-&\stackrel{\ast}=\int\,ds
+&=\int\,ds -\lambda\int\kappa(s)\,ds\\
+%&\stackrel{\ast}=\int\,ds
 \end{align*}
-$$
+$$
+
+이고 마찬가지로 왼쪽 바퀴가 이동한 거리는
+
+$$
+\int\left|\beta_+(s)\right|\,ds
+=\int\,ds +\lambda\int\kappa(s)\,ds
+$$
+
+이 문제에서의 핵심은 두 식에서 등장하는 적분이 0이 된다는 것이다.
+
+$$
+\int\kappa(s)\,ds\tag{$\ast$} = 0 
+$$
+
+정확하게는, 운행을 멈췄을 때 자동차가 향하는 방향이 운행을 시작했을 때 자동차가 향하는 방향과 같고 운행중에 완전히 회전하지 않았다는 가정 하에 $(\ast)$가 성립한다는 것이다.
+따라서 이 문제는 식 $(\ast)$을 증명하는 문제로 한원된다.
+
+## 2.2 total curvature
+
+곡선 $\alpha:[a,b]\to\mathbb R^2$에 대하여 해당 적분값을 구해보자.
+
+### 2.3.1 직선적으로 움직이는 물체
+$\alpha$를 $(m_0,n_0)$에서 출발하여 $(m,n)$의 방향으로 향하는 직선이라고 하자($0\le s\le b$).
+$\alpha(s)=(m_0+ms,n_0+ns)$이고 $T=(m,n)$이고 $\sqrt{m^2+n^2}=1$이다. 
+$N=(-n,m)$, $T'=(0,0)$에서 $\kappa=0$이다.
+이 문제는 시작점과 종료점에서 향하는 방향이 같으며 식 $(\ast)$의 값은 
+
+$$
+\int_0^b\kappa(s)\,ds\tag{$\ast$}
+=\int_0^b0\,ds=0 
+$$
+
+가 된다.
+
+### 2.3.2 반원 위를 움직이는 물체
+$\alpha$를 $(1,0)$에서 출발하여 일정한 속력으로 단위원을 따라 $(-1,0)$에서 멈추는 곡선이라고 하자.
+$\alpha(s)=(\cos s,\sin s)$이고 $T=(-\sin s,\cos s)$이고 $0\le s\le\pi$이다. 
+$N=(-\cos s,-\sin s)$, $N'=(\sin s,-\cos s)$이다.
+그러면 이 문제는 시작점과 종료점에서 향하는 방향이 반대이고  $\kappa(s) = -T\cdot N'=1$이며 식 $(\ast)$의 값은 
+
+$$
+\int_0^\pi\kappa(s)\,ds\tag{$\ast$}
+=\int_0^\pi1\,ds=\pi 
+$$
+
+가 된다.