added appendix to Fourier_1

Author: govin08

_posts/2024-10-05-Fourier_1.md

@@ -1791,3 +1791,116 @@ taking $\alpha=\frac c{2n}$ and $\beta=c'''$.
 그러니까 상수를 곱하는 대신, $r$에 대한 함수를 곱하여 곱의 법칙 $(fg)'=fg'+f'g$을 적용할 수 있도록 만든 것이다.
 </div>
 
+## 4. Appendix
+
+### 4.1 Homogeneous second order linear ODE with constant coefficient
+
+<div class="notice--info">
+책을 읽다보니 미분방정식을 풀어야 할 상황이 많이 나온다.
+학부 때 '미분방정식' 수업을 들었었고, 또 '미분방정식론', '편미분방정식' 등의 수업도 듣고 학점도 잘 나왔던 것으로 기억하지만, 정작 기본적인 '미분방정식' 수업에서 제대로 된 설명을 듣지 못했기에 기본이 부족하다.
+설명을 제대로 듣지 못했다면, 그때 따로 공부를 했으면 될 일이긴 하지만, 2학년이었던 당시에는 해석학과 선형대수, 집합론을 공부하는 데만 해도 시간이 부족했다.
+미분연립방정식 같은 데에서는 Wronskian 같은 이름들도 나왔던 것으로 기억하는데, 여하튼 일반적인 ODE 이론이 많이 있다는 것만 알지, 제대로 공부해본 적이 없다.
+<br><br>
+이 책을, 아니 적어도 이 장을 정확하게 이해하기 위해서는 first order, second order의 homogeneous linear ODE에 대해서는 어느 정도 이해해야 한다.
+대부분의 first order case는 integrating factor를 사용하면 풀리는 듯하는데, 이에 관해서는 정리해볼 수도 있지만 일이 커질 것 같아서 정리하지 않겠다.
+second order case에 해당하는 것은 이 장의 첫 부분의 simple harmonic motion인
+$$y''(t)+c^2y(t)=0$$
+인데, 이 경우는 연습문제 3.6을 통해 풀릴 수 있다.
+그런데 이것은 $c^2$이 nonnegative인 경우만을 상정하고 있다.
+일반적으로
+$$y''(t)+\lambda y(t)=0$$
+와 같은 식에서 $\lambda$가 음수이면 일반해가 어떻게 나오는지가 책의 내용만으로는 명확히 설명되지 않는다.
+특히 1.2절의 (3)번 식인 
+$$
+\begin{aligned}
+\psi''(t)-\lambda\psi(t)&=0\\
+\phi''(x)-\lambda\phi(x)&=0
+\end{aligned}\tag3
+$$
+의 경우에도 $\lambda$의 부호에 대해 두루뭉실하게 넘어가는 것 같다.
+마찬가지의 상황이 2.2절의
+$$G''(\theta)+\lambda G(\theta)=0$$
+에서도 나타난다.
+그래서, 일반적인 homogeneous second order linear ODE, 그 중에서도 계수가 상수인 경우에 대해서 공부해보았다.
+이것은 Trinity university의 R. C. Daileda라는 분이 만든 <a href="http://ramanujan.math.trinity.edu/rdaileda/teach/f11/m1312/second_order.pdf">자료</a>를 바탕으로 하였다.
+<br><br>
+homogeneous second order linear ODE가 있을 때, $e^{rx}$와 $e^{-rx}$ 혹은 $\sin rx$와 $\cos rx$와 같은 꼴이 특정한 해가 된다는 것은 쉽게 보일 수 있다.
+하지만 이 ODE의 일반해를 $ae^{cx}+be^{-cx}$ 또는 $a\sin cx+b\cos cx$로 둘 수 있다는 중요한 사실을, 대부분의 ODE 책에서는 간단히만 언급하고 지나간다.
+그런데 정말 이러한 형식이 일반해인지를, 그러니까, 다른 해가 존재하지 않는지를 증명하는 것은 꽤 어려운 일이다.
+일반적인 ODE theory에서 이 문제를 어떻게 다루는지 잘 모르겠다.
+(어떤 책에서는 'advanced course에서 다룰테니 이 책에서는 생략한다'라고 말하는 걸 봤다.)
+하지만 이 자료에서는, 문제를 constant coefficient로 한정했을 때, 정확한 증명을 elementary한 수준에서 하고 있다.
+미적분학과 integrating factor 기법만 알면 증명이 가능하다.
+다만, 계산이 꽤 들어가기는 하고, 연습문제 3.10와 같은 ODE는 이 방법으로 풀 수 없다.
+<br><br>
+나는 위 자료를 따라가며 계산을 다 해보았고, 정말 유효한 증명인지 확인해보았다.
+하지만, 저 자료가 워낙 잘 정리되어 있다보니 이걸 다시 블로그에 정리하는 것은 큰 의미는 없을 것 같고, 몇가지 용어들과 주요 결과만 적어보려 한다.
+</div>
+
+Suppose that $y$ is a twice differentiable function of $x$.
+Then a differential equation of the form
+
+$$
+P(x)\frac{d^2y}{dx^2}
++
+Q(x)\frac{dy}{dx}
++
+R(x)y
+=
+G(x)
+$$
+
+is called a *second order linear differential equation*.
+It is second order since the equation has derivatives of at most second order.
+It is linear since the left hand side is a linear equation of derivatives.
+
+If $G(x)=0$ so that
+
+$$
+P(x)\frac{d^2y}{dx^2}
++
+Q(x)\frac{dy}{dx}
++
+R(x)y
+=
+0
+$$
+
+then, it is called a *homogeneous* second order linear differential equation.
+
+Consider only the case when $P(x)$, $Q(x)$ and $R(x)$ are all constants;
+
+$$
+a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=0\tag1.
+$$
+
+<!-- To every ODE of the above form, there corresponds the characteristic equation ; -->
+Associated with an ODE of the above form is the characteristic equation ;
+
+$$
+ar^2+br+c=0.\tag2
+$$
+
+Here is a theorem :
+
+<div class="notice--info">
+If the characteristic equation (2) has two distinct real roots $r_1$ and $r_2$, then the general solution to (1) is given by
+
+$$
+y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}.
+$$
+
+If (2) has a single (repeated) root  $r$, then the general solution to (1) is given by
+
+$$
+y=(c_1x+c_2)e^{rx}.
+$$
+
+If (3) has imaginary roots $\alpha\pm\beta i$, then the general solution to (1) is given by
+
+$$
+y=e^\alpha(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x).
+$$
+
+In the above solutions, $c_1$ and $c_2$ are arbitrary constants.
+</div>