finished Fourier_1 : upto 2-1.

Author: govin08

_posts/2024-10-05-Fourier_1.md

@@ -18,15 +18,15 @@ toc: true
 이 책의 1장부터 4장까지는 Fourier Series에 대한 내용이고, 5장부터 6장까지는 Fourier transform에 대한 내용이며, 7장은 Finite Fourier Analysis, 8장은 Dirichlet's Theorem에 대해 다루고 있는 것 같다.
 나는 1장부터 읽어가고 있고, 이 포스트는 1장에 대한 기록이다.
 
-1장의 제목은 "Genesis of Fourier Analysys"이고 각 절은 다음과 같은 순서로 되어 있다.
+1장의 제목은 "Genesis of Fourier Analysis"이고 각 절은 다음과 같은 순서로 되어 있다.
 1. The vibrating string
 2. The heat equation
 3. Exercises
 4. Problem
 
 그러니 주 내용은 1절과 2절이다.
 그런데 내용을 읽다보면, 본문에서는 다루지 않고 증명하지 않는 여러 기초적인 문제들이 있다.
-이 문제는 당연히 3절에 위치해있다.
+이 문제들은 당연히 3절에 위치해있다.
 나는 이 포스트의 3절에 해당되는 문제들을 다 풀어보았다.
 그리고 4절은 보지 않을 예정이다.
 
@@ -568,6 +568,234 @@ Note that the function $f$ in the last expression is the extended version (on $\
 
 ### 2.1 Derivation of the heat equation
 
+<div class="notice--info">
+책의 내용이 잘 이해가 가지 않아서, 따로 찾아보았고 별도로 유도해보았다.
+<a href="http://www-personal.umd.umich.edu/~adwiggin/TeachingFiles/FourierSeries/Resources/HeatEquationDerivation.pdf"> 미시건 대학교 자료</a>가 굉장히 이해가 잘 되게 설명되어 있어서 이 자료를 가장 많이 참고했다.
+이 자료에서 Fourier's law가 소개되고 사용되고 있는데, 사실 Stein의 책과 다른 자료들에서도 Fourier's law는 기본으로 깔고 시작하는 것 같다.
+Fourier's law의 의미는 대충 알겠지만, 정확한 의미를 잘 모르겠어서 그냥 <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_conduction#Overview">열전도공식</a>인 $\kappa A\Delta T/l$ 만을 참고하여 heat equation을 유도해보았다.
+one dimensional heat equation은 미시건 대학교 자료로 거의 설명이 가능했지만, 이차원에서는 관련된 설명을 쉽게 찾을 수 없었다.
+하지만, 그냥 일차원과 비슷하게 해보니 원하던 결과가 나왔다.
+<br><br>
+벡터 미적분학에 나오는 flux의 개념과 이와 연관된 divergence theorem이 2-3차원의 heat equation을 설명하는 데 적합할 것으로 보이고, 미시건 대학교 자료 및 다른 자료에서 flux, divergence theorem 등의 말들이 보인다.
+하지만 아직은 flux 및 divergence로서 heat equation을 이해하지 못했다.
+나중에 Stein이 다루진 않겠지만, 만약 다루게 된다면 그때 가서 이해해야지.
+</div>
+
+<p class='text-size-12'> one dimensional heat equation : my trial </p>
+
+Consider a homogeneous rod, which we model as an $x$-axis.
+Let $\sigma$ be the amount of heat needed to raise the temperature of one unit mass by one degree
+and let $\delta$ be the mass density of the rod.
+Then, it takes $\sigma T\delta L$ to raise the temperature of a rod of length $L$ by $T$.
+Suppose that if two objects $A$ and $B$ in $x$-axis have temperature $T_A$ and $T_B$ ($T_A\gt T_B$) and if $L$ be the distance between them, then the heat $H$ transfered from $A$ to $B$ is
+
+$$H=k\frac{T_A-T_B}L\Delta t.$$
+
+![1d_heat_equation]({{site.url}}\images\2024-10-05-Fourier_1\1d_heat_equation.png){: .img-80-center}
+
+Consider a section of a rod, centered at $x$ and of length $\Delta x$.
+Since $\Delta x$ is taken to be small, we conceive the temperature at time $t$ of this section as $u(x,t)$.
+
+Between time $t$ and time $t+\Delta t$, the difference of the temperature of this section is $u(x,t+\Delta t) - u(x,t)$.
+Then, the difference $\Delta E$ of the energe of this section is,
+
+$$
+\Delta E =
+\sigma\left[u(x,t+\Delta t)-u(x,t)\right]\delta\Delta x.
+$$
+
+Between $t$ and $\Delta t$, heats are transfered from left and right sections, which we denote $H_1$ and $H_2$ where
+
+$$
+\begin{aligned}
+H_1&=
+k\frac{u(x-\Delta x, t) - u(x,t)}{\Delta x}\Delta t\\
+H_2&=
+k\frac{u(x+\Delta x, t) - u(x,t)}{\Delta x}\Delta t\\
+\end{aligned}
+$$
+
+Since $\Delta E=H_1+H_2$, dividing both sides by $\Delta t\Delta x$ yields
+
+$$
+\sigma\delta\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}
+=
+k\frac{u(x+\Delta x, t) + u(x-\Delta x, t) - 2u(x,t)}{(\Delta x)^2}.
+$$
+
+Letting $\Delta x\to 0$ and $\Delta t\to0$,
+
+$$
+\sigma\delta\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)
+=
+k\frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t).
+$$
+
+<p class='text-size-12'> two dimensional heat equation : my trial </p>
+
+Consider a homogeneous plane, which we model as an $xy$-plane.
+Let $\sigma$ be as before and let $\delta$ be the planar mass density.
+It takes $\sigma T\delta A$ to raise the temperature of a region of area $A$ by $T$.
+Suppose that if two rectangles $A$ and $B$, whose intersecting segment has length $h$ have temperature $T_A$ and $T_B$ ($T_A\gt T_B$) and if $L$ be the distance between them, then the heat $H$ transfered from $A$ to $B$ is
+
+$$H=k\frac{T_A-T_B}Lh\Delta t.$$
+
+![2d_heat_equation]({{site.url}}\images\2024-10-05-Fourier_1\2d_heat_equation.png){: .img-80-center}
+
+Consider a rectangular section in a plane, centered at $(x,y)$ and with sides $\Delta x$ and $\Delta y$.
+Since $\Delta x$ and $\Delta y$ are taken to be small, we conceive the temperature at time $t$ of this section as $u(x,y,t)$.
+
+Between time $t$ and time $t+\Delta t$, the difference of the temperature of this section is $u(x,y,t+\Delta t) - u(x,y,t)$ as before.
+Then, the difference $\Delta E$ of the energe of this section is,
+
+$$
+\Delta E =
+\sigma\left[u(x,y,t+\Delta t)-u(x,y,t)\right]\delta\Delta x\Delta y.
+$$
+
+Between $t$ and $\Delta t$, heats are transfered from left, right, bottom and top sections, which we denote $H_1$, $H_2$, $H_3$ and $H_4$ where
+
+$$
+\begin{aligned}
+H_1&=
+k\frac{u(x-\Delta x, y, t) - u(x,y,t)}{\Delta x}\Delta y\Delta t\\
+H_2&=
+k\frac{u(x+\Delta x, y, t) - u(x,y,t)}{\Delta x}\Delta y\Delta t\\
+H_3&=
+k\frac{u(x, y-\Delta y, t) - u(x,y,t)}{\Delta y}\Delta x\Delta t\\
+H_4&=
+k\frac{u(x, y+\Delta x, t) - u(x,y,t)}{\Delta y}\Delta x\Delta t\\
+\end{aligned}
+$$
+
+Since $\Delta E=H_1+H_2+H_4+H_4$, dividing both sides by $\Delta t\Delta x\Delta y$ yields
+
+$$
+\begin{aligned}
+\sigma\delta\frac{u(x,y,t+\Delta t)-u(x,y,t)}{\Delta t}
+=&
+k\frac{u(x+\Delta x, y, t) + u(x-\Delta x, y, t) - 2u(x,y,t)}{(\Delta x)^2}\\
+&+
+k\frac{u(x, y+\Delta y, t) + u(x, y-\Delta y, t) - 2u(x,y,t)}{(\Delta y)^2}.
+\end{aligned}
+$$
+
+Letting $\Delta x\to 0$, $\Delta x\to 0$ and $\Delta t\to0$,
+
+$$
+\sigma\delta\frac{\partial u}{\partial t}(x,y,t)
+=
+k\left[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x,y,t)+\frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x,y,t)\right].
+$$
+
+<div class="notice--info">
+책의 내용을 이해했다.
+처음에 열에너지($H$)를 정의하는 식은 이해가 안간다.
+아마도 대학교 수준의 열역학을 이해해야 알 수 있을 듯하다.
+하지만 이 식을 정의로서 받아들이고 논리를 전개해나가면 내가 했던 것과 같은 결과가 나온다.
+이 과정에서 Newton's law를 사용하는데 이것은 미시건 대학교 자료 및 위키피디아에서의 Fourier's law에 해당하는 듯하다.
+내가 증명한 과정에서 이 법칙은 거의 증명한 셈이므로 참이라고 상정하고 받아들여도 될 것이다.
+<br><br>
+생각과는 달리 flux 및 divergence theorem이 직접적으로 나오지는 않았다.
+열에너지($H$)를 정의하면서 이중적분이 나올 뿐이다.
+하지만, 계산 중에 나오는 $\frac{\partial H}{\partial t}$에서 $h\to0$를 하면 divergence의 의미와 거의 같다.
+</div>
+
+<p class='text-size-12'> two dimensional heat equation : Stein's book </p>
+
+![stein_heat_equation]({{site.url}}\images\2024-10-05-Fourier_1\stein_heat_equation.png){: .img-40-center}
+
+Consider a square centered at $(x_0,y_0)$ with sides parellel to the axes and of side length $h$.
+On the one hand, the amount of heat energy in $S$ at time $t$ is given by
+
+$$H(t) = \iint_S u(x,y,t)\,dx\,dy$$
+
+for some constant $\sigma$ (the specific heat).
+The rate of change of $H$ with respect to $t$ is
+
+$$
+\frac{\partial H}{\partial t}=\sigma\iint_S\frac{\partial u}{\partial t}\,dx\,dy
+$$
+
+By [the mean value theorem for double integrals](http://mathonline.wikidot.com/the-mean-value-theorem-for-double-integrals),
+
+$$
+\frac{\partial H}{\partial t}=\sigma h^2\frac{\partial u}{\partial t}(\tilde x,\tilde y, t)
+$$
+
+for some $(\tilde x, \tilde y)$ in the square.
+
+<!-- where
+
+$$
+\lim_{h\to0}\frac{\partial H}{\partial t}=\sigma h^2\frac{\partial u}{\partial t}(x_0, y_0, t).
+$$ -->
+
+On the other hand, we can apply Newton's law of cooling (Fourier's law) to four sides of the square.
+
+$$
+\begin{aligned}
+H_1&=  \kappa h\frac{\partial u}{\partial x}(x_0-\frac h2, y_0, t)\\
+H_2&= -\kappa h\frac{\partial u}{\partial x}(x_0+\frac h2, y_0, t)\\
+H_3&=  \kappa h\frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0-\frac h2, t)\\
+H_4&= -\kappa h\frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0+\frac h2, t)
+\end{aligned}
+$$
+
+By the mean value theorem, there exist
+$x_\ast$ in $(x_0-\frac h2,x_0+\frac h2)$ and
+$y_\ast$ in $(y_0-\frac h2,y_0+\frac h2)$, 
+such that
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{\partial u}{\partial x}(x_0-\frac h2, y_0, t)-\frac{\partial u}{\partial x}(x_0+\frac h2, y_0, t)
+=&h\frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x_\ast, y_0, t)\\
+\frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0-\frac h2, t)-\frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0+\frac h2, t)
+=&h\frac{\partial^2u}{\partial y^2}(x_0, y_\ast, t)
+\end{aligned}
+$$
+
+Combining the two, namely, $\frac{\partial H}{\partial t}=H_1+H_2+H_3+H_4$, we have
+
+$$
+\sigma h^2\frac{\partial u}{\partial t}(\tilde x,\tilde y, t)
+=
+\kappa h^2\left[
+ \frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x_\ast, y_0, t)
+ +
+ \frac{\partial^2u}{\partial y^2}(x_0, y_\ast, t)
+\right]
+$$
+
+Dividing both sides by $h^2$ and $h\to 0$,
+
+$$
+\sigma\frac{\partial u}{\partial t}(x_0, y_0, t)
+=
+\kappa\left[
+ \frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x_0, y_0, t)
+ +
+ \frac{\partial^2u}{\partial y^2}(x_0, y_0, t)
+\right]
+$$
+
+since $x_\ast,\tilde x\to x_0$ and $y_\ast,\tilde y\to y_0$.
+This equation holds for all $(x_0, y_0)$ in the plane and for all $t$.
+Thus
+
+$$
+\sigma\frac{\partial u}{\partial t}
+=
+\kappa\left[
+ \frac{\partial^2u}{\partial x^2}
+ +
+ \frac{\partial^2u}{\partial y^2}
+\right].
+$$
+
+This is called the **(time dependent) heat equation**.
+
 ## 3. Exercises
 
 <p class='text-size-12'> 3.1 </p>
@@ -1555,7 +1783,7 @@ taking $\alpha=\frac c{2n}$ and $\beta=c'''$.
 학부때 integrating factor의 방법은 당연히 배웠던 기억이 있다.
 그동안 까맣게 잊고 있었지만 이번에 다시 기억해내게 되었다.
 <br><br>
-그리고, 나는 원래 문제였던 second order homogenous ODE를 first order homogeneous ODE로 바꾸어서 이것을 integrating factor로 풀어낸 것인데, 사실은 second order homogeneous ODE를 푸는 일반적인 방법을 사용할 수도 있을 것이다. (Ninad Munshi의 댓글 및 답변)
+그리고, 나는 원래 문제였던 second order homogeneous ODE를 first order homogeneous ODE로 바꾸어서 이것을 integrating factor로 풀어낸 것인데, 사실은 second order homogeneous ODE를 푸는 일반적인 방법을 사용할 수도 있을 것이다. (Ninad Munshi의 댓글 및 답변)
 하지만 이런 ODE 일반론에 대한 공부는 나중으로 미루고, 지금은 Fourier Analysis 책을 더 볼 것이다.
 <br><br>
 막힌 부분에 대해 오랫동안 고민하면서, 주어진 first order ODE의 좌변을 어떻게든 곱의 법칙을 사용하여 간단히할 수 있는 방법에 대해 생각했는데, 아무리 생각해도 단순히 상수를 곱하거나 나눠서는 곱의 법칙으로 간소화가 안될 것 같았다.