completed exercise 3.10, thus, completed the whole exercises

Author: govin08

_posts/2024-10-05-Fourier_1.md

@@ -18,7 +18,7 @@ toc: true
 이 책의 1장부터 4장까지는 Fourier Series에 대한 내용이고, 5장부터 6장까지는 Fourier transform에 대한 내용이며, 7장은 Finite Fourier Analysis, 8장은 Dirichlet's Theorem에 대해 다루고 있는 것 같다.
 나는 1장부터 읽어가고 있고, 이 포스트는 1장에 대한 기록이다.
 
-1장의 제목은 "Genesis of Fourier Analsys"이고 각 절은 다음과 같은 순서로 되어 있다.
+1장의 제목은 "Genesis of Fourier Analysys"이고 각 절은 다음과 같은 순서로 되어 있다.
 1. The vibrating string
 2. The heat equation
 3. Exercises
@@ -491,7 +491,7 @@ If an even function $g$ on $[-\pi,\pi]$ is given, the restriction on $[0,\pi]$ c
 The equation is valid for $g$ on $[-\pi, \pi]$ too, by the similar fashion.
 
 Now suppose that a function $F$ on $[-\pi, \pi]$ is given.
-Since $F$ can be expressed as $f+g$,
+Since $F$ can be expressed as a sum of an odd function $f$ and an even function $g$,
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -566,6 +566,8 @@ Note that the function $f$ in the last expression is the extended version (on $\
 
 ## 2. The Heat Equation
 
+### 2.1 Derivation of the heat equation
+
 ## 3. Exercises
 
 <p class='text-size-12'> 3.1 </p>
@@ -660,6 +662,7 @@ $$\lim_{n\to\infty}|w_n-w|=0.$$
 
 Show that the limit is unique.
 
+<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
 Suppose that $w_n\to w$ and $w_n\to w'$ where $w\ne w'$.
 Since $\frac{|w-w'|}3>0$, there exists $N$ and $N'$ such that
 
@@ -686,6 +689,7 @@ This contradiction implies that the limit is unique.
 
 (b) Prove that $\\{w_n\\}$ is Cauchy iff it is convergent.
 
+<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
 Suppose that $\\{w_n\\}$ is convergent, say, to $w$.
 Fix $\epsilon>0$.
 Take $N$ so that
@@ -743,6 +747,7 @@ $$\left|S_m-S_n\right|<\epsilon.$$
 
 Note that $S_m-S_n=\sum_{i=n+1}^mz_n$. -->
 
+<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
 Fix $\epsilon\gt0$.
 Since $\sum a_n$ converges, the partial sum of $\\{a_n\\}$ converges and is Cauchy.
 Thus, there exists $N>0$ such that if $m>n>N$, then
@@ -771,6 +776,7 @@ $$
 (a) Prove that the above sum is always convergent.
 Moreover show that the convergence is uniform on every bounded subset $S$ of $\mathbb C$.
 
+<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
 Fix $z\in C$ and apply the ratio test;
 
 $$
@@ -827,8 +833,12 @@ $$
 
 Therefore, $f_n\to f$ uniformly.
 
-(전체적인 증명은 [Wikipedia : Weierstrauss M-test](https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_M-test)의 증명을 참고하였음.
-ratio test를 두 번 쓸 필요가 있을까, 그러니까, 증명을 좀 간소화할 수 있을 것 같은데 어떻게 해야 할까, 잘 모르겠다.)
+<div class="notice--info">
+전체적인 증명은 
+<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_M-test">Wikipedia : Weierstrauss M-test</a>
+의 증명을 참고하였다.
+ratio test를 두 번 쓸 필요가 있을까, 그러니까, 증명을 좀 간소화할 수 있을 것 같은데 어떻게 해야 할까, 잘 모르겠다.
+</div>
 
 (b) Prove that $e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}$
 
@@ -1033,6 +1043,7 @@ has the solution
 
 $$f(t)=a\cos ct + b\sin ct.$$
 
+<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
 The solution indeed satisfies the ODE by a simple calculation.
 Conversely, suppose the ODE.
 As presented in the hint, let
@@ -1083,6 +1094,7 @@ $$a\cos ct+b\sin ct = A\cos(ct-\phi)$$
 
 for some $A\ge0$ and $\phi\in[0,2\pi)$.
 
+<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
 If $a=b=0$, let $A=0$.
 Then the above equation holds for an arbitrary $\phi$.
 Suppose that $a\ne0$ or $b\ne 0$.
@@ -1116,7 +1128,8 @@ Moreover, prove that
 
 $$\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}{h^2}=F''(x).$$
 
-(proof) Since $F'(x)$ is differentiable at $x$,
+<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
+Since $F'(x)$ is differentiable at $x$,
 
 $$\lim_{k\to0}\frac{F'(x+k)-F'(x)}k = F''(x).$$
 
@@ -1170,13 +1183,13 @@ $$\phi(h)=\frac1{h^2}\int_0^hu\psi(u)\,du$$
 
 To prove that $\phi(h)\to0$ as $h\to0$, we can use one of the two calculation belows :
 
-1. L'Hopital Rule:
+(1) L'Hopital Rule:
 
 $$
 \lim_{h\to0}\phi(h)=\lim_{h\to0}\frac{h\psi(h)-0}{2h}=\frac12\lim_{h\to0}\psi(h)=0.
 $$
 
-2. $\epsilon$-$\delta$ reasoning :
+(2) $\epsilon$-$\delta$ reasoning :
 
 Fix $\epsilon>0$.
 Since $\psi(h)\to0$ as $h\to0$, there exists $\delta>0$ such that if $-\delta<u<\delta$, then $|\psi(u)|<\epsilon$.
@@ -1232,7 +1245,7 @@ Calculate the Fourier sine coefficient sine coefficient $A_m$.
 For what position of $p$ are the second, fourth, $\cdots$ harmonics missing?
 For what position of $p$ are the third, sixth, $\cdots$ harmonics missing?
 
-(proof)
+<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -1276,9 +1289,12 @@ $$
 \left|\frac{\partial u}{\partial\theta}\right|^2
 $$
 
-(proof)
+<div class="notice--info">
+이 계산은 군대에서 전역하고 대학교 2학년으로 복학하던 시점에 했던 기억이 있다.
+지금 다시 해봐야지.
+</div>
 
-(이 계산은 군대에서 전역하고 대학교 2학년으로 복학하던 시점에 했던 기억이 있지만 다시 해봐야지.)
+<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
 
 Note that
 
@@ -1398,4 +1414,152 @@ $$
 +\frac1{r^2}
 \left|\frac{\partial u}{\partial y}\right|^2
 \end{aligned}
-$$
+$$
+
+<p class='text-size-12'> 3.10 </p>
+Let $n$ be an integer and let $F$ be a twice differentiable function satisfying
+
+$$r^2F''(r)+rF'(r)-n^2F(r)=0$$
+
+for $rgt0$.
+The solution to the ODE is
+
+$$
+F(r)=
+\begin{cases}
+\alpha r^n+\beta r^{-n} &(n\ne0)\\
+\alpha + \beta\log r    &(n=0)
+\end{cases}
+$$
+
+<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
+Throughout the proof, $r$ is assumed to be positive.
+
+Suppose first that $n=0$.
+The ODE reduces to 
+
+$$
+\begin{gathered}
+r^2F''(r)+rF'(r)=0\\
+rF''(r)+F'(r)=0\\
+\frac d{dr}\left(rF'(r)\right)=0\\
+rF'(r)=\beta\\
+F'(r)=\frac\beta r\\
+F(r)=\beta\log r + \alpha
+\end{gathered}
+$$
+
+Now, suppose $n\ne0$.
+It is enough to consider the case $n>0$ only.
+<!-- First of all, we can check that $r^n$ and $r^{-n}$ satisfy the ODE.
+If $n=1$, then
+$$r^2(r)''+r(r)'-1^2\cdot r=0+r-r=0.$$
+If $n>1$, then
+$$
+r^2(r^n)''+r(r^n)'-n^2\cdot r^n
+=\left(n(n-1)+n-n^2\right)r^n=0.
+$$
+So, $r^n$ satisfies the ODE.
+Moreover
+$$
+r^2(r^{-n})''+r(r^{-n})'-n^2\cdot r^{-n}
+=\left(-n(-n-1)-n-n^2\right)r^{-n}=0.
+$$
+So, $r^{-n}$ also satisfies the ODE too. -->
+
+<!-- Now suppose the ODE. -->
+For $r\gt0$, let
+
+$$g(r)=\frac{F(r)}{r^n}$$
+
+so that $F(r)=g(r)r^n.$
+Then
+
+$$
+\begin{aligned}
+F'(r)&=ng(r)r^{n-1}+g'(r)r^n\\
+F''(r)&=n(n-1)g(r)r^{n-2}+2ng'(r)r^{n-1}+g''(r)r^n
+\end{aligned}
+$$
+
+The ODE becomes
+
+$$
+\begin{gathered}
+n(n-1)g(r)r^n + 2ng'(r)r^{n+1} + g''(r)r^{n+2} + ng(r)r^n + g'(r)r^{n+1} - n^2g(r)r^n=0\\
+2ng'(r)r^{n+1} + g''(r)r^{n+2} + g'(r)r^{n+1}=0\\
+2ng'(r) + g''(r)r + g'(r)=0\\
+2ng'(r) + \left(rg'(r)\right)'=0\\
+\frac{d}{dr}\left(2ng(r)+rg'(r)\right)=0\\
+2ng(r)+rg'(r)=c
+\end{gathered}
+$$
+
+for some constant $c$.
+That is, the original second order ODE is now reduces to a first order ODE.
+Dividing both sides by $r$, we get
+
+$$
+g'(r)+\frac{2n}rg(r)=\frac cr
+$$
+
+Now, we use the method of *integrating factor*.
+That is, we are to multiply both sides by $I(r)$, the integrating factor, so that we can use the product rule $(fg)'=f'g+fg'$ to express LHS as a derivative of a single function.
+Multiplying $I(r)$ on both sides,
+
+$$
+g'(r)I(r)+g(r)\frac{2n}rI(r)=\frac crI(r)
+$$
+
+the integrating factor should satisfy
+
+$$
+\begin{gathered}
+\frac d{dr}I(r)=\frac{2n}r I(r)\\
+\int\frac d{dr}I(r)=\int\frac{2n}r I(r)\\
+\log\left|I(r)\right|=2n\log r + C'=\log e^{C'}\cdot r^{2n}\\
+I(r) = \pm e^{C'}r^{2n}\\
+I(r) = C''r^{2n}
+\end{gathered}
+$$
+
+for some real constant $C''$.
+Take $I(r)=r^{2n}$.
+Then,
+
+$$
+\begin{gathered}
+g'(r)I(r)+g(r)I'(r)=\frac crI(r)\\
+\frac d{dr}\left(g(r)I(r)\right)=\frac crI(r)\\
+\frac d{dr}\left(r^{2n}g(r)\right)=cr^{2n-1}\\
+r^{2n}g(r)=\frac c{2n}r^{2n}+c'''\\
+g(r)=\frac c{2n} + c'''r^{-2n}.
+\end{gathered}
+$$
+
+Since $F(r)=r^ng(r)$,
+
+$$F(r)=\alpha r^n+\beta r^{-n}$$
+
+taking $\alpha=\frac c{2n}$ and $\beta=c'''$.
+
+<div class="notice--info">
+책에 나온 힌트를 따라가기는 했으나 마지막에 나오는 ODE를 풀지 못해 mathexchange에 
+<a href="https://math.stackexchange.com/questions/4986596/simple-ode-whose-solution-is-rn-or-r-n/4986639#4986639">질문</a>
+을 했었다.
+굉장히 기초적인 ODE 질문이었다.
+<br><br>
+해당 문제는 integrating factor를 사용하면 풀린다. (Gwen의 답변)
+조금 더 정확하게 말하면 integrating factor를 사용해서 풀리는 종류의 ODE가 있고 내가 당면한 문제는 이런 종류에 속하므로 integrating factor를 사용하면 됐었다.
+이 풀이법에 대한 더 한국어 풀이는 어떤 <a href='https://blog.naver.com/sw4r/221949675334'>블로그 포스트</a> 에서도 더 자세히 나와있었으므로 이 포스트를 통해 더 이해했다.
+학부때 integrating factor의 방법은 당연히 배웠던 기억이 있다.
+그동안 까맣게 잊고 있었지만 이번에 다시 기억해내게 되었다.
+<br><br>
+그리고, 나는 원래 문제였던 second order homogenous ODE를 first order homogeneous ODE로 바꾸어서 이것을 integrating factor로 풀어낸 것인데, 사실은 second order homogeneous ODE를 푸는 일반적인 방법을 사용할 수도 있을 것이다. (Ninad Munshi의 댓글 및 답변)
+하지만 이런 ODE 일반론에 대한 공부는 나중으로 미루고, 지금은 Fourier Analysis 책을 더 볼 것이다.
+<br><br>
+막힌 부분에 대해 오랫동안 고민하면서, 주어진 first order ODE의 좌변을 어떻게든 곱의 법칙을 사용하여 간단히할 수 있는 방법에 대해 생각했는데, 아무리 생각해도 단순히 상수를 곱하거나 나눠서는 곱의 법칙으로 간소화가 안될 것 같았다.
+이제 integrating factor의 방법을 이해하고 보니, 이 방법은 내가 생각한 방법을 확장한 것이라 볼 수 있었다.
+그러니까 상수를 곱하는 대신, $r$에 대한 함수를 곱하여 곱의 법칙 $(fg)'=fg'+f'g$을 적용할 수 있도록 만든 것이다.
+</div>
+