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That is, the original second order ODE is now reduces to a first order ODE.
1500
+
Dividing both sides by $r$, we get
1501
+
1502
+
$$
1503
+
g'(r)+\frac{2n}rg(r)=\frac cr
1504
+
$$
1505
+
1506
+
Now, we use the method of *integrating factor*.
1507
+
That is, we are to multiply both sides by $I(r)$, the integrating factor, so that we can use the product rule $(fg)'=f'g+fg'$ to express LHS as a derivative of a single function.
1508
+
Multiplying $I(r)$ on both sides,
1509
+
1510
+
$$
1511
+
g'(r)I(r)+g(r)\frac{2n}rI(r)=\frac crI(r)
1512
+
$$
1513
+
1514
+
the integrating factor should satisfy
1515
+
1516
+
$$
1517
+
\begin{gathered}
1518
+
\frac d{dr}I(r)=\frac{2n}r I(r)\\
1519
+
\int\frac d{dr}I(r)=\int\frac{2n}r I(r)\\
1520
+
\log\left|I(r)\right|=2n\log r + C'=\log e^{C'}\cdot r^{2n}\\
1521
+
I(r) = \pm e^{C'}r^{2n}\\
1522
+
I(r) = C''r^{2n}
1523
+
\end{gathered}
1524
+
$$
1525
+
1526
+
for some real constant $C''$.
1527
+
Take $I(r)=r^{2n}$.
1528
+
Then,
1529
+
1530
+
$$
1531
+
\begin{gathered}
1532
+
g'(r)I(r)+g(r)I'(r)=\frac crI(r)\\
1533
+
\frac d{dr}\left(g(r)I(r)\right)=\frac crI(r)\\
1534
+
\frac d{dr}\left(r^{2n}g(r)\right)=cr^{2n-1}\\
1535
+
r^{2n}g(r)=\frac c{2n}r^{2n}+c'''\\
1536
+
g(r)=\frac c{2n} + c'''r^{-2n}.
1537
+
\end{gathered}
1538
+
$$
1539
+
1540
+
Since $F(r)=r^ng(r)$,
1541
+
1542
+
$$F(r)=\alpha r^n+\beta r^{-n}$$
1543
+
1544
+
taking $\alpha=\frac c{2n}$ and $\beta=c'''$.
1545
+
1546
+
<divclass="notice--info">
1547
+
책에 나온 힌트를 따라가기는 했으나 마지막에 나오는 ODE를 풀지 못해 mathexchange에
조금 더 정확하게 말하면 integrating factor를 사용해서 풀리는 종류의 ODE가 있고 내가 당면한 문제는 이런 종류에 속하므로 integrating factor를 사용하면 됐었다.
1554
+
이 풀이법에 대한 더 한국어 풀이는 어떤 <ahref='https://blog.naver.com/sw4r/221949675334'>블로그 포스트</a> 에서도 더 자세히 나와있었으므로 이 포스트를 통해 더 이해했다.
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+
학부때 integrating factor의 방법은 당연히 배웠던 기억이 있다.
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그동안 까맣게 잊고 있었지만 이번에 다시 기억해내게 되었다.
1557
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그리고, 나는 원래 문제였던 second order homogenous ODE를 first order homogeneous ODE로 바꾸어서 이것을 integrating factor로 풀어낸 것인데, 사실은 second order homogeneous ODE를 푸는 일반적인 방법을 사용할 수도 있을 것이다. (Ninad Munshi의 댓글 및 답변)
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하지만 이런 ODE 일반론에 대한 공부는 나중으로 미루고, 지금은 Fourier Analysis 책을 더 볼 것이다.
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<br><br>
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막힌 부분에 대해 오랫동안 고민하면서, 주어진 first order ODE의 좌변을 어떻게든 곱의 법칙을 사용하여 간단히할 수 있는 방법에 대해 생각했는데, 아무리 생각해도 단순히 상수를 곱하거나 나눠서는 곱의 법칙으로 간소화가 안될 것 같았다.
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이제 integrating factor의 방법을 이해하고 보니, 이 방법은 내가 생각한 방법을 확장한 것이라 볼 수 있었다.
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그러니까 상수를 곱하는 대신, $r$에 대한 함수를 곱하여 곱의 법칙 $(fg)'=fg'+f'g$을 적용할 수 있도록 만든 것이다.
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