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_posts/2024-10-05-Fourier_1.md

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Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -18,7 +18,7 @@ toc: true
1818
이 책의 1장부터 4장까지는 Fourier Series에 대한 내용이고, 5장부터 6장까지는 Fourier transform에 대한 내용이며, 7장은 Finite Fourier Analysis, 8장은 Dirichlet's Theorem에 대해 다루고 있는 것 같다.
1919
나는 1장부터 읽어가고 있고, 이 포스트는 1장에 대한 기록이다.
2020

21-
1장의 제목은 "Genesis of Fourier Analsys"이고 각 절은 다음과 같은 순서로 되어 있다.
21+
1장의 제목은 "Genesis of Fourier Analysys"이고 각 절은 다음과 같은 순서로 되어 있다.
2222
1. The vibrating string
2323
2. The heat equation
2424
3. Exercises
@@ -491,7 +491,7 @@ If an even function $g$ on $[-\pi,\pi]$ is given, the restriction on $[0,\pi]$ c
491491
The equation is valid for $g$ on $[-\pi, \pi]$ too, by the similar fashion.
492492

493493
Now suppose that a function $F$ on $[-\pi, \pi]$ is given.
494-
Since $F$ can be expressed as $f+g$,
494+
Since $F$ can be expressed as a sum of an odd function $f$ and an even function $g$,
495495

496496
$$
497497
\begin{aligned}
@@ -566,6 +566,8 @@ Note that the function $f$ in the last expression is the extended version (on $\
566566

567567
## 2. The Heat Equation
568568

569+
### 2.1 Derivation of the heat equation
570+
569571
## 3. Exercises
570572

571573
<p class='text-size-12'> 3.1 </p>
@@ -660,6 +662,7 @@ $$\lim_{n\to\infty}|w_n-w|=0.$$
660662

661663
Show that the limit is unique.
662664

665+
<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
663666
Suppose that $w_n\to w$ and $w_n\to w'$ where $w\ne w'$.
664667
Since $\frac{|w-w'|}3>0$, there exists $N$ and $N'$ such that
665668

@@ -686,6 +689,7 @@ This contradiction implies that the limit is unique.
686689

687690
(b) Prove that $\\{w_n\\}$ is Cauchy iff it is convergent.
688691

692+
<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
689693
Suppose that $\\{w_n\\}$ is convergent, say, to $w$.
690694
Fix $\epsilon>0$.
691695
Take $N$ so that
@@ -743,6 +747,7 @@ $$\left|S_m-S_n\right|<\epsilon.$$
743747
744748
Note that $S_m-S_n=\sum_{i=n+1}^mz_n$. -->
745749

750+
<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
746751
Fix $\epsilon\gt0$.
747752
Since $\sum a_n$ converges, the partial sum of $\\{a_n\\}$ converges and is Cauchy.
748753
Thus, there exists $N>0$ such that if $m>n>N$, then
@@ -771,6 +776,7 @@ $$
771776
(a) Prove that the above sum is always convergent.
772777
Moreover show that the convergence is uniform on every bounded subset $S$ of $\mathbb C$.
773778

779+
<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
774780
Fix $z\in C$ and apply the ratio test;
775781

776782
$$
@@ -827,8 +833,12 @@ $$
827833

828834
Therefore, $f_n\to f$ uniformly.
829835

830-
(전체적인 증명은 [Wikipedia : Weierstrauss M-test](https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_M-test)의 증명을 참고하였음.
831-
ratio test를 두 번 쓸 필요가 있을까, 그러니까, 증명을 좀 간소화할 수 있을 것 같은데 어떻게 해야 할까, 잘 모르겠다.)
836+
<div class="notice--info">
837+
전체적인 증명은
838+
<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_M-test">Wikipedia : Weierstrauss M-test</a>
839+
의 증명을 참고하였다.
840+
ratio test를 두 번 쓸 필요가 있을까, 그러니까, 증명을 좀 간소화할 수 있을 것 같은데 어떻게 해야 할까, 잘 모르겠다.
841+
</div>
832842

833843
(b) Prove that $e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}$
834844

@@ -1033,6 +1043,7 @@ has the solution
10331043

10341044
$$f(t)=a\cos ct + b\sin ct.$$
10351045

1046+
<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
10361047
The solution indeed satisfies the ODE by a simple calculation.
10371048
Conversely, suppose the ODE.
10381049
As presented in the hint, let
@@ -1083,6 +1094,7 @@ $$a\cos ct+b\sin ct = A\cos(ct-\phi)$$
10831094

10841095
for some $A\ge0$ and $\phi\in[0,2\pi)$.
10851096

1097+
<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
10861098
If $a=b=0$, let $A=0$.
10871099
Then the above equation holds for an arbitrary $\phi$.
10881100
Suppose that $a\ne0$ or $b\ne 0$.
@@ -1116,7 +1128,8 @@ Moreover, prove that
11161128

11171129
$$\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}{h^2}=F''(x).$$
11181130

1119-
(proof) Since $F'(x)$ is differentiable at $x$,
1131+
<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
1132+
Since $F'(x)$ is differentiable at $x$,
11201133

11211134
$$\lim_{k\to0}\frac{F'(x+k)-F'(x)}k = F''(x).$$
11221135

@@ -1170,13 +1183,13 @@ $$\phi(h)=\frac1{h^2}\int_0^hu\psi(u)\,du$$
11701183

11711184
To prove that $\phi(h)\to0$ as $h\to0$, we can use one of the two calculation belows :
11721185

1173-
1. L'Hopital Rule:
1186+
(1) L'Hopital Rule:
11741187

11751188
$$
11761189
\lim_{h\to0}\phi(h)=\lim_{h\to0}\frac{h\psi(h)-0}{2h}=\frac12\lim_{h\to0}\psi(h)=0.
11771190
$$
11781191

1179-
2. $\epsilon$-$\delta$ reasoning :
1192+
(2) $\epsilon$-$\delta$ reasoning :
11801193

11811194
Fix $\epsilon>0$.
11821195
Since $\psi(h)\to0$ as $h\to0$, there exists $\delta>0$ such that if $-\delta<u<\delta$, then $|\psi(u)|<\epsilon$.
@@ -1232,7 +1245,7 @@ Calculate the Fourier sine coefficient sine coefficient $A_m$.
12321245
For what position of $p$ are the second, fourth, $\cdots$ harmonics missing?
12331246
For what position of $p$ are the third, sixth, $\cdots$ harmonics missing?
12341247

1235-
(proof)
1248+
<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
12361249

12371250
$$
12381251
\begin{aligned}
@@ -1276,9 +1289,12 @@ $$
12761289
\left|\frac{\partial u}{\partial\theta}\right|^2
12771290
$$
12781291

1279-
(proof)
1292+
<div class="notice--info">
1293+
이 계산은 군대에서 전역하고 대학교 2학년으로 복학하던 시점에 했던 기억이 있다.
1294+
지금 다시 해봐야지.
1295+
</div>
12801296

1281-
(이 계산은 군대에서 전역하고 대학교 2학년으로 복학하던 시점에 했던 기억이 있지만 다시 해봐야지.)
1297+
<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
12821298

12831299
Note that
12841300

@@ -1398,4 +1414,152 @@ $$
13981414
+\frac1{r^2}
13991415
\left|\frac{\partial u}{\partial y}\right|^2
14001416
\end{aligned}
1401-
$$
1417+
$$
1418+
1419+
<p class='text-size-12'> 3.10 </p>
1420+
Let $n$ be an integer and let $F$ be a twice differentiable function satisfying
1421+
1422+
$$r^2F''(r)+rF'(r)-n^2F(r)=0$$
1423+
1424+
for $rgt0$.
1425+
The solution to the ODE is
1426+
1427+
$$
1428+
F(r)=
1429+
\begin{cases}
1430+
\alpha r^n+\beta r^{-n} &(n\ne0)\\
1431+
\alpha + \beta\log r &(n=0)
1432+
\end{cases}
1433+
$$
1434+
1435+
<a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
1436+
Throughout the proof, $r$ is assumed to be positive.
1437+
1438+
Suppose first that $n=0$.
1439+
The ODE reduces to
1440+
1441+
$$
1442+
\begin{gathered}
1443+
r^2F''(r)+rF'(r)=0\\
1444+
rF''(r)+F'(r)=0\\
1445+
\frac d{dr}\left(rF'(r)\right)=0\\
1446+
rF'(r)=\beta\\
1447+
F'(r)=\frac\beta r\\
1448+
F(r)=\beta\log r + \alpha
1449+
\end{gathered}
1450+
$$
1451+
1452+
Now, suppose $n\ne0$.
1453+
It is enough to consider the case $n>0$ only.
1454+
<!-- First of all, we can check that $r^n$ and $r^{-n}$ satisfy the ODE.
1455+
If $n=1$, then
1456+
$$r^2(r)''+r(r)'-1^2\cdot r=0+r-r=0.$$
1457+
If $n>1$, then
1458+
$$
1459+
r^2(r^n)''+r(r^n)'-n^2\cdot r^n
1460+
=\left(n(n-1)+n-n^2\right)r^n=0.
1461+
$$
1462+
So, $r^n$ satisfies the ODE.
1463+
Moreover
1464+
$$
1465+
r^2(r^{-n})''+r(r^{-n})'-n^2\cdot r^{-n}
1466+
=\left(-n(-n-1)-n-n^2\right)r^{-n}=0.
1467+
$$
1468+
So, $r^{-n}$ also satisfies the ODE too. -->
1469+
1470+
<!-- Now suppose the ODE. -->
1471+
For $r\gt0$, let
1472+
1473+
$$g(r)=\frac{F(r)}{r^n}$$
1474+
1475+
so that $F(r)=g(r)r^n.$
1476+
Then
1477+
1478+
$$
1479+
\begin{aligned}
1480+
F'(r)&=ng(r)r^{n-1}+g'(r)r^n\\
1481+
F''(r)&=n(n-1)g(r)r^{n-2}+2ng'(r)r^{n-1}+g''(r)r^n
1482+
\end{aligned}
1483+
$$
1484+
1485+
The ODE becomes
1486+
1487+
$$
1488+
\begin{gathered}
1489+
n(n-1)g(r)r^n + 2ng'(r)r^{n+1} + g''(r)r^{n+2} + ng(r)r^n + g'(r)r^{n+1} - n^2g(r)r^n=0\\
1490+
2ng'(r)r^{n+1} + g''(r)r^{n+2} + g'(r)r^{n+1}=0\\
1491+
2ng'(r) + g''(r)r + g'(r)=0\\
1492+
2ng'(r) + \left(rg'(r)\right)'=0\\
1493+
\frac{d}{dr}\left(2ng(r)+rg'(r)\right)=0\\
1494+
2ng(r)+rg'(r)=c
1495+
\end{gathered}
1496+
$$
1497+
1498+
for some constant $c$.
1499+
That is, the original second order ODE is now reduces to a first order ODE.
1500+
Dividing both sides by $r$, we get
1501+
1502+
$$
1503+
g'(r)+\frac{2n}rg(r)=\frac cr
1504+
$$
1505+
1506+
Now, we use the method of *integrating factor*.
1507+
That is, we are to multiply both sides by $I(r)$, the integrating factor, so that we can use the product rule $(fg)'=f'g+fg'$ to express LHS as a derivative of a single function.
1508+
Multiplying $I(r)$ on both sides,
1509+
1510+
$$
1511+
g'(r)I(r)+g(r)\frac{2n}rI(r)=\frac crI(r)
1512+
$$
1513+
1514+
the integrating factor should satisfy
1515+
1516+
$$
1517+
\begin{gathered}
1518+
\frac d{dr}I(r)=\frac{2n}r I(r)\\
1519+
\int\frac d{dr}I(r)=\int\frac{2n}r I(r)\\
1520+
\log\left|I(r)\right|=2n\log r + C'=\log e^{C'}\cdot r^{2n}\\
1521+
I(r) = \pm e^{C'}r^{2n}\\
1522+
I(r) = C''r^{2n}
1523+
\end{gathered}
1524+
$$
1525+
1526+
for some real constant $C''$.
1527+
Take $I(r)=r^{2n}$.
1528+
Then,
1529+
1530+
$$
1531+
\begin{gathered}
1532+
g'(r)I(r)+g(r)I'(r)=\frac crI(r)\\
1533+
\frac d{dr}\left(g(r)I(r)\right)=\frac crI(r)\\
1534+
\frac d{dr}\left(r^{2n}g(r)\right)=cr^{2n-1}\\
1535+
r^{2n}g(r)=\frac c{2n}r^{2n}+c'''\\
1536+
g(r)=\frac c{2n} + c'''r^{-2n}.
1537+
\end{gathered}
1538+
$$
1539+
1540+
Since $F(r)=r^ng(r)$,
1541+
1542+
$$F(r)=\alpha r^n+\beta r^{-n}$$
1543+
1544+
taking $\alpha=\frac c{2n}$ and $\beta=c'''$.
1545+
1546+
<div class="notice--info">
1547+
책에 나온 힌트를 따라가기는 했으나 마지막에 나오는 ODE를 풀지 못해 mathexchange에
1548+
<a href="https://math.stackexchange.com/questions/4986596/simple-ode-whose-solution-is-rn-or-r-n/4986639#4986639">질문</a>
1549+
을 했었다.
1550+
굉장히 기초적인 ODE 질문이었다.
1551+
<br><br>
1552+
해당 문제는 integrating factor를 사용하면 풀린다. (Gwen의 답변)
1553+
조금 더 정확하게 말하면 integrating factor를 사용해서 풀리는 종류의 ODE가 있고 내가 당면한 문제는 이런 종류에 속하므로 integrating factor를 사용하면 됐었다.
1554+
이 풀이법에 대한 더 한국어 풀이는 어떤 <a href='https://blog.naver.com/sw4r/221949675334'>블로그 포스트</a> 에서도 더 자세히 나와있었으므로 이 포스트를 통해 더 이해했다.
1555+
학부때 integrating factor의 방법은 당연히 배웠던 기억이 있다.
1556+
그동안 까맣게 잊고 있었지만 이번에 다시 기억해내게 되었다.
1557+
<br><br>
1558+
그리고, 나는 원래 문제였던 second order homogenous ODE를 first order homogeneous ODE로 바꾸어서 이것을 integrating factor로 풀어낸 것인데, 사실은 second order homogeneous ODE를 푸는 일반적인 방법을 사용할 수도 있을 것이다. (Ninad Munshi의 댓글 및 답변)
1559+
하지만 이런 ODE 일반론에 대한 공부는 나중으로 미루고, 지금은 Fourier Analysis 책을 더 볼 것이다.
1560+
<br><br>
1561+
막힌 부분에 대해 오랫동안 고민하면서, 주어진 first order ODE의 좌변을 어떻게든 곱의 법칙을 사용하여 간단히할 수 있는 방법에 대해 생각했는데, 아무리 생각해도 단순히 상수를 곱하거나 나눠서는 곱의 법칙으로 간소화가 안될 것 같았다.
1562+
이제 integrating factor의 방법을 이해하고 보니, 이 방법은 내가 생각한 방법을 확장한 것이라 볼 수 있었다.
1563+
그러니까 상수를 곱하는 대신, $r$에 대한 함수를 곱하여 곱의 법칙 $(fg)'=fg'+f'g$을 적용할 수 있도록 만든 것이다.
1564+
</div>
1565+

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