Inferência estatística: Teorema do Limite Central

O Teorema

O Teorema do limite central afirma que quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral da sua média aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal. Este resultado é fundamental para a inferência estatística.

Qualquer que seja a distribuição da variável de interesse para grande amostras, a distribuição das médias amostrais serão aproximadamente normalmente distribuídas, e tenderão a uma distribuição normal à medida que o tamanho de amostra crescer.

A sua utilidade é de estimar os parâmetros como a média populacional ou o desvio padrão da média populacional a partir de uma amostra aleatória dessa população.

Observações Gerais da Simulação

Vamos investigar a distribuição exponencial com o R, e depois comparar com o Teorema do Limite Central.

A distribuição exponencial pode ser simulada com R utilizando rexp(n, lambda), onde a variável lambda é a taxa de parâmetro.

A média da distribuição exponencial é 1/lambda, bem como o desvio padrão também é 1/lambda.

Definindo lambda = 0.2 para todas as simulações, vamos investigar a distribuição das médias de 40 exponenciais, para isto vamos precisar de milhares de simulações.

Simulações (1000 valores aleatórios para 40 exp)

library(ggplot2)
# contantes
lambda <- 0.2
n <- 40                # exponenciais
QuantSimul <- 1000     # quantidade de testes
set.seed(1507446545)   # setando o 'seed' para ser reproduzível 
# Rodando em N versus QuantSimul 
ExpDistrib      <- matrix(data=rexp(n * QuantSimul, lambda), nrow=QuantSimul)
ExpDistribMedias <- data.frame(means=apply(ExpDistrib, 1, mean))

Obtendo Amostra média versus média teórica

Veja que a média esperada $\mu$ da distribuição exponecial da taxa $\lambda$ é

$\mu= \frac{1}{\lambda}$

mu <- 1/lambda
mu

## [1] 5

Sendo $\bar X$ a média média da amostra de 1000 simulações de 40 distribuições aleatórias.

GrandMeans <- mean(ExpDistribMedias$means)
GrandMeans

## [1] 5.020541

A média esperada é muito próxima da média da amostra.

Variância da Amostra versus Variância Teórica

O desvio padrão esperado $\sigma$ de uma distribuição exponencial da taxa $\lambda$ é

$\sigma = \frac{1/\lambda}{\sqrt{n}}$

sd <- (1/lambda)/sqrt(n)
sd

## [1] 0.7905694

A $Variancia$ do desvio padrão $\sigma$ é

$Variancia = \sigma^2$

Variance <- sd^2
Variance

## [1] 0.625

• $Variancia_x$ é a variância da média da amostra de 1000 simulações de 40 distribuições aleatórias;

• $\sigma_x$ é o correspondente desvio padrão.

sd_x <- sd(ExpDistribMedias$means)
sd_x

## [1] 0.7946587

Variance_x <- var(ExpDistribMedias$means)
Variance_x

## [1] 0.6314825

Os desvios padrões estão muito próximos, praticamente iguais.

Distribuição e população média

A população média e o desvio padrão com uma distribuição normal dos valores esperados:

# plot 
ggplot(data = ExpDistribMedias, aes(x = means)) + 
  geom_histogram(binwidth=0.15, aes(y=..density..), alpha=0.2) + 
  stat_function(fun = dnorm, arg = list(mean = mu , sd = sd), colour = "blue", size=1) + 
  geom_vline(xintercept = mu, size=2, colour="#DD0000") + 
  geom_density(colour="brown", size=2) +
  geom_vline(xintercept = GrandMeans, size=2, colour="#0000DD") + 
  scale_x_continuous(breaks=seq(mu-3,mu+3,1), limits=c(mu-3,mu+3)) 

De acordo com o gráfico, a distribuição calculada das médias das distribuições exponenciais aleatórias da amostra (em azul) sobrepõe a distribuição normal dos valores esperados com base na variável lambda (em vermelho).

Comparando tamanho de amostras diferentes (Lembrando que o teorema é valido para grandes amostras)

QuantSimul <- 5 # quantidade de testes
ExpDistrib      <- matrix(data=rexp(n * QuantSimul, lambda), nrow=QuantSimul)
ExpDistribMedias <- data.frame(means=apply(ExpDistrib, 1, mean))
mu <- 1/lambda
GrandMeans <- mean(ExpDistribMedias$means)

ggplot(data = ExpDistribMedias, aes(x = means)) + 
  geom_histogram(binwidth=0.15, aes(y=..density..), alpha=0.2) + 
  stat_function(fun = dnorm, arg = list(mean = mu , sd = sd), colour = "blue", size=1) + 
  geom_vline(xintercept = mu, size=2, colour="#DD0000") + 
  geom_density(colour="brown", size=2) +
  geom_vline(xintercept = GrandMeans, size=2, colour="#0000DD") + 
  scale_x_continuous(breaks=seq(mu-3,mu+3,1), limits=c(mu-3,mu+3)) 

QuantSimul <- 50 # quantidade de testes
ExpDistrib      <- matrix(data=rexp(n * QuantSimul, lambda), nrow=QuantSimul)
ExpDistribMedias <- data.frame(means=apply(ExpDistrib, 1, mean))
mu <- 1/lambda
GrandMeans <- mean(ExpDistribMedias$means)

ggplot(data = ExpDistribMedias, aes(x = means)) + 
  geom_histogram(binwidth=0.15, aes(y=..density..), alpha=0.2) + 
  stat_function(fun = dnorm, arg = list(mean = mu , sd = sd), colour = "blue", size=1) + 
  geom_vline(xintercept = mu, size=2, colour="#DD0000") + 
  geom_density(colour="brown", size=2) +
  geom_vline(xintercept = GrandMeans, size=2, colour="#0000DD") + 
  scale_x_continuous(breaks=seq(mu-3,mu+3,1), limits=c(mu-3,mu+3)) 

QuantSimul <- 500 # quantidade de testes
ExpDistrib      <- matrix(data=rexp(n * QuantSimul, lambda), nrow=QuantSimul)
ExpDistribMedias <- data.frame(means=apply(ExpDistrib, 1, mean))
mu <- 1/lambda
GrandMeans <- mean(ExpDistribMedias$means)

ggplot(data = ExpDistribMedias, aes(x = means)) + 
  geom_histogram(binwidth=0.15, aes(y=..density..), alpha=0.2) + 
  stat_function(fun = dnorm, arg = list(mean = mu , sd = sd), colour = "blue", size=1) + 
  geom_vline(xintercept = mu, size=2, colour="#DD0000") + 
  geom_density(colour="brown", size=2) +
  geom_vline(xintercept = GrandMeans, size=2, colour="#0000DD") + 
  ggtitle("Histograma \n amostra tamanho 500") +
  scale_x_continuous(breaks=seq(mu-3,mu+3,1), limits=c(mu-3,mu+3)) 

QuantSimul <- 5000 # quantidade de testes
ExpDistrib      <- matrix(data=rexp(n * QuantSimul, lambda), nrow=QuantSimul)
ExpDistribMedias <- data.frame(means=apply(ExpDistrib, 1, mean))
mu <- 1/lambda
GrandMeans <- mean(ExpDistribMedias$means)

ggplot(data = ExpDistribMedias, aes(x = means)) + 
  geom_histogram(binwidth=0.15, aes(y=..density..), alpha=0.2) + 
  stat_function(fun = dnorm, arg = list(mean = mu , sd = sd), colour = "blue", size=1) + 
  geom_vline(xintercept = mu, size=2, colour="#DD0000") + 
  geom_density(colour="brown", size=2) +
  geom_vline(xintercept = GrandMeans, size=2, colour="#0000DD") + 
  ggtitle("Histograma \n amostra tamanho 5000") +
  scale_x_continuous(breaks=seq(mu-3,mu+3,1), limits=c(mu-3,mu+3)) 

Finalização:

Através de simples gráficos e simulações podemos visualizar como o Teorema do Limite Central se comporta a medida que o tamanho de amostra cresce.

Além de servir de base para estimarmos algum parâmetro a partir das médias populacionais também pode nos ser útil para ajudar na avaliação do tamanho ou qualidade da amostra que estamos utilizando.

Os dados, gráficos, markdown, código fonte foram disponibilizado no github, link: https://github.com/leonardo78rs/TeoremaLimiteCentral

Referências:

Wikipedia: https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_central_do_limite

UFPR: http://www.leg.ufpr.br/~silvia/CE001/node38.html

Brian Caffo: https://leanpub.com/LittleInferenceBook