Final Project Mata Kuliah Komputasi Numerik

Tujuan:

Memperkirakan Nilai Fungsi di antara titik yang sudah diketahui dengan metode interpolasi Newton-Gregory Backward (NGB)

Nama Anggota Kelompok A09

Berikut adalah daftar anggota kelompok A09 beserta NRP masing-masing:

No.	Nama	NRP
1	Dimas Setiaji	5025241056
2	Addien Zafriyan Al Akhsan	5025241058
3	Riyan Fadli Amazzadin	5025241068
4	Fauzan Hafiz Amandani	5025241087
5	Nyoman Surya Hutama Andyartha	5025241093

Soal

Buatlah program untuk memperkirakan nilai fungsi di antara titik yang sudah diketahui dengan metode interpolasi Newton-Gregory Backward (NGB) dengan deskripsi soal dan tabel fungsi sebagai berikut:

Deskripsi Soal

Carilah nilai $f(x)$ ketika $x = 16$ dengan menggunakan metode Newton-Gregory Backward dan $y$ sebenarnya adalah $897{,}104$. Hitung juga nilai galat sebenarnya ($E_t$) antara hasil interpolasi dan nilai sebenarnya.

Tabel Fungsi

x	y	Δ f(x)	Δ² f(x)	Δ³ f(x)	Δ⁴ f(x)
3	-741
		555
6	-186		31752
		32307		88776
9	32121		120528		87480
		152835		176256
12	184956		296784		116640
		449619		292896
15	634575		589680		145800
		1039299		438696
18	1673874		1028376		174960
		2067675		613656
21	3741549		1642032		204120
		3709707		817776
24	7451256		2459808
		6169515
27	13620771

Penjelasan Kode

Berikut adalah penjelasan kode untuk menyelesaikan soal di atas dengan metode Newton Gregory Backward (NGB):

1. Import Library

import numpy as np
from math import factorial

Penjelasan:

Potongan kode awal di atas dilakukan untuk mengimpor library numpy (disingkat dengan np) yang digunakan untuk operasi array numerik, seperti membuat array dan mencari indeks.

Kemudian, kami juga mengimpor factorial dari modul math yang akan digunakan untuk menghitung faktorial (misal: 3! = 3×2×1) dalam Newton-Gregory Backward .

---

2. Fungsi s_product

def s_product(s, i):
    result = s
    for k in range(1, i):
        result *= (s + k)
    return round(result, 2)

Penjelasan:

Fungsi ini menghitung hasil perkalian berurutan: $s × (s+1) × (s+2) ...$ sebanyak i kali. Fungsi ini digunakan untuk menghitung suku-suku pada rumus Newton Gregory Backward dan hasil akhirnya dibulatkan 2 angka di belakang koma.

---

3. Fungsi NGB (Newton Gregory Backward)

def NGB(x_full, y_full, xt, h, x0):
    idx_x0 = np.where(x_full == x0)[0][0]
    x = x_full[:idx_x0 + 1]
    y = y_full[:idx_x0 + 1]
    n = len(x)

Penjelasan:

Di dalam fungsi NGB, ada beberapa variabel yang harus diinisialisasi terlebih dahulu dengan rincian sebagai berikut:

• x_full dan y_full adalah array semua data x dan y.
• xt adalah titik x yang ingin diinterpolasi.
• h adalah jarak antar x (selisih tetap).
• x0 adalah titik basis (paling belakang) untuk backward.
• idx_x0 mencari indeks di mana x = x0.
• x dan y adalah array yang hanya berisi data sampai x0.
• n adalah jumlah data yang digunakan untuk interpolasi (jumlah elemen di x).

Kemudian, hanya data sampai x0 yang diambil untuk proses backward.

---

    diff = np.zeros((n, n))
    diff[:, 0] = y

Penjelasan:

Lalu, kami membuat tabel selisih (difference table) berukuran n×n dan diinisialisasikan dengan nol. Kemudian, bagian kolom pertama diisi dengan nilai y (data asli).

---

    print("\nPerhitungan untuk setiap selisih nilai fungsi/delta:\n")
    for i in range(1, n):
        for j in range(n - 1, i - 1, -1):
            diff[j, i] = round(diff[j, i - 1] - diff[j - 1, i - 1], 2)
            print(f"Δ^{i}y[{j}] = {diff[j, i]:.2f}")

Penjelasan:

Selanjutnya, tabel selisih diisi hingga orde ke-n. Pada setiap iterasi, selisih dihitung secara mundur (dari baris n - 1 hingga i - 1) dengan menggunakan rumus backward difference untuk menghitung selisih ke-$i$ pada baris ke-$j$:

$$\Delta^i y_j = \Delta^{i-1} y_j - \Delta^{i-1} y_{j-1}$$

, di mana:

• $\Delta^i y_j$ adalah selisih ke-$i$ pada baris ke-$j$,
• $\Delta^{i-1} y_j$ adalah selisih ke-$(i-1)$ pada baris ke-$j$,
• $\Delta^{i-1} y_{j-1}$ adalah selisih ke-$(i-1)$ pada baris ke-$(j-1)$.

Lalu, setiap hasil perhitungan dicetak agar proses pembentukan tabel selisih dapat terlihat dengan jelas.

---

    print("\nPerhitungan untuk NGB:\n")
    s = round((xt - x0) / h, 2)
    print(f"s = {s:.2f}")

Penjelasan:

Lalu, kami menghitung nilai s sebagai parameter pada rumus Newton Gregory Backward: s = (xt - x0) / h. Dan, dicetak hasilnya agar bisa dilihat nilainya.

---

    result = round(diff[-1, 0], 2)

Penjelasan:

Kode di atas dibuat untuk menginisialisasi hasil dengan y pada x0 (nilai terakhir di kolom pertama).

---

    for i in range(1, n):
        s_term = round(s_product(s, i) / factorial(i), 2)
        term = round(s_term * diff[n - 1, i], 2)
        print(f"Term for i={i}: {term:.2f} (s_term={s_term:.2f}, Δ^{i}y={diff[n - 1, i]:.2f})")
        result = round(result + term, 2)

Penjelasan:

Bagian kode di atas adalah rumus dari interpolasi Newton-Gregory Backward. Variabel s_term akan menyimpan nilai yang dikembalikan oleh fungsi s_product, lalu nilai tersebut akan dibagi dengan faktorial i. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut:

$$s\_term = \frac{s(s+1)(s+2)...(s+i-1)}{i!}$$

Nilai dari s_term kemudian digunakan pada variabel term dengan mengalikannya sesuai dengan selisih diferensial yang ada (diff[n - 1, i]). Secara matematis dirumuskan sebagai berikut:

$$term = s\_term \cdot \Delta^i y_{n-1}$$

Variabel term akan ditambahkan ke variabel result untuk kemudian mengetahui hasil dari interpolasinya. Setiap langkah akan mencetak berapa term dan s_term yang dimiliki dengan pembulatan dua angka di belakang koma (round(_variabel_, 2)). Secara matematis dirumuskan sebagai berikut:

$$\text{result} = \sum_{i=1}^{n-1} \text{term}_i + y_{x_0}$$

---

    print(f"\nHasil Akhir dari Newton Gregory Backward: {result:.2f}")
    return result

Penjelasan:

Kode ini akan menampilkan hasil (yang disimpan di variabel result) dari interpolasi Newton-Gregory Backward dengan ketelitian dua angka di belakang koma.

---

4. Data dan Eksekusi

x = np.array([3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27], dtype=float)
y = np.array([-741, -186, 32121, 184956, 634575, 1673874, 3741549, 7451256, 13620771], dtype=float)

xt = 16        # Titik yang ingin diinterpolasi
yt = 897103    # Nilai y sebenarnya
x0 = 15        # Basis backward
h = 3          # Selisih antar x

Penjelasan:

Pada potongan kode ini, data x dan y didefinisikan dan diinisialisasi sebagai array yang akan menampung tipe data float. Terdapat juga beberapa inisialisasi variabel lain seperti titik yang ingin diinterpolasi (xt), nilai y sebenarnya (yt), basis backward (x0), dan selisih antar x (h).

---

f16 = NGB(x, y, xt, h, x0)

Penjelasan:

Bagian ini akan memanggil fungsi NGB yang akan menghitung hasil dari interpolasi Newton-Gregory Backward

---

Et = round(abs((yt - f16) / yt) * 100, 2)
print(f"\nEt (Error True) = {Et:.2f}")

Penjelasan:

Setelah semua tahap berhasil dijalankan, maka program akan menghitung Error true (Et) sebagai persentase selisih antara nilai sebenarnya dan hasil interpolasi. Nilai error tersebut akan dicetak dengan ketelitian dua angka di belakang koma.

---

5. Hasil Keluaran (Output)

Perhitungan untuk setiap selisih nilai fungsi/delta:

Δ^1y[4] = 449619.00
Δ^1y[3] = 152835.00
Δ^1y[2] = 32307.00
Δ^1y[1] = 555.00
Δ^2y[4] = 296784.00
Δ^2y[3] = 120528.00
Δ^2y[2] = 31752.00
Δ^3y[4] = 176256.00
Δ^3y[3] = 88776.00
Δ^4y[4] = 87480.00

Perhitungan untuk NGB:

s = 0.33
Term for i=1: 148374.27 (s_term=0.33, Δ^1y=449619.00)
Term for i=2: 65292.48 (s_term=0.22, Δ^2y=296784.00)
Term for i=3: 29963.52 (s_term=0.17, Δ^3y=176256.00)
Term for i=4: 12247.20 (s_term=0.14, Δ^4y=87480.00)

Hasil Akhir dari Newton Gregory Backward: 890452.47

Et (Error True) = 0.74

Kesimpulan

Berdasarkan penjelasan di atas, kami telah berhasil mengimplementasikan metode interpolasi Newton-Gregory Backward (NGB) untuk memperkirakan nilai fungsi di antara titik yang sudah diketahui. Dengan menggunakan data yang diberikan, kami mendapatkan estimasi nilai f(x) ketika x = 16 adalah 890452,47. Jika dibandingkan dengan nilai sebenarnya, yaitu 897104, maka diperoleh hasil nilai error true yang didapatkan yakni sebesar 0,74%.