2019年秋季学期泛函分析课程笔记(20201217补充)

v1.6a - 20201217

重写了第4章的内容。

2019年秋季学期泛函分析课程笔记(20201026修正)

v1.6 - 20201026

修正了一些小错误，尽管无伤大雅。

2019年秋季学期泛函分析课程笔记(20200925修正+补充)

v1.5 - 20200925

增加了正则Borel测度和正线性泛函的部分

定理1.5.18 修改证明中的\bigcup_{x\in E}为\bigcup_{x\in F}

2019年秋季学期泛函分析课程笔记(20200320修正)

v1.4 - 20200320

修改了封面, 添加了授课教师的姓名

习题3.11: 重写了(1)的证明;
习题5.1: 修改证明中的x\in[0,1)为a\in[0,1), 修改x=1为a=1;
习题8.1: 修改证明中的\abs{c}<1为\abs{c}\leqslant 1;

2019年秋季学期泛函分析课程笔记(20200110修订)

v1.3 - 20200110

增加了2019年秋季学期期末测试题

定理 2.6.10: 修改证明中第一个行间公式的 < 为 \leqslant;
推论 2.7.9: 修改叙述中的连续线性映射为连续线性双射;
命题 3.3.15: 删除证明中错误的括号;
定理 3.5.7: 修改证明中第二个必要性为充分性;
定义 3.4.1: 补充说明f的范围;
命题 3.4.4: 修改证明中的 f\in\Star{E}为f\in\Star{G};
定理 3.4.9: 修改证明中的 \Longrightarrow为\Longleftrightarrow;
定理 4.1.8: 修改证明中的 \varepsilon为\frac{\varepsilon}{2}, 证明最后一行增加(H), 以及修改Fr中的的F;
习题 4.10: 修改证明过程中的 x_{k} 和 e_{k}, 修改对 lp空间证明中的 1\leqslant p\leqslant\infty 为 1\leqslant p<\infty;
习题 4.13: 修改证明后部分的去等条件为取等条件;
习题 4.15: 补充 (2) 充分性证明中对 (z_{n})的描述, 修改必要性证明的第一个行间公式;
习题 4.19: 修改充分性证明中用于逼近的函数列的形式, 修改充分性证明中第一个行间公式后的k为n, 修改从而为而;
习题 5.2: 修改 (3) 证明中的2\pi为\pi;
习题 6.1: 补充对 (1) 后一半的证明;
习题 6.6: 修改证明中的收敛显然为收敛, 调整第二段证明中的行内公式为行间公式;
习题 6.8: 增加对线性性的说明, 修改证明倒数第二行的[0. 1]为[0, 1];
习题 6.10: 去掉 (2) 证明中的一个范数;
习题 6.14: 证明中增加 1/c;
习题 6.16:证明的行间公式中增加括号;
习题 8.1: 修改题面中上标2为p, 修改 (2) 证明过程中的绝对值的位置, 增加对极限的说明, 修改p=\infty时行间公式的对齐位置, 对c两端加绝对值;
习题 8.3: 增加充分性证明中对\alpha_{k}, \beta{l}的描述;
习题 8.4: (2) 证明中增加\bar{\lambda};
习题 8.13: 修改 (1) 证明结尾的逻辑表达式, 即 (1) 另证中的x_{n}为x_{2n}, 对 (2) 证明的后面的A_{0}-c加上括号;
习题 8.16: 修改题面中对算子的描述, 修改 (2)(i) 证明中的i\geqslant1为i\geqslant k;
习题 9.1: (2) 证明中增加\forall n>N;
习题 9.2: 修改证明最后的空间为(B, \sigma(\Star{E}, E);
习题 9.6(a): 修改对偶关系中的f*的范围, 必要性证明最后添加=1;
习题 9.8: 增加 (2) 证明中的f|_{N}=0;
习题 9.16: 修改证明中的 (x_{n})_{\geqslant1}为 (x_{n})_{n\geqslant1}, 对 (2) 证明中的x_{n}加上范数;
习题 11.1: 修改证明中逻辑表达式错误的括号;
习题 11.8: 修改 (4) 证明中的(x_{n});

2019秋季学期泛函分析课程笔记 (20200103修正)

修改记录上传为 2019FA_fix.md
本次更新修正了以下内容
命题 1.7.18: 增加了p_{i}的范围;
定义 1.7.22: 修正了括号的间距;
定理 2.3.5: 完善 (2) 的说明;
定理 2.3.9: 修改定理中的x\bot y\in E为x-y\bot E, 修改定理最后一行的\norm{x}为x;
定理 2.6.3: 修改第一个行间公式中的\bigcup为\bigcap_{n\geqslant1};
定理 2.7.13: 修改证明中的至为知;
定理 2.7.18: 修改证明中的间距;
定理 2.7.19: 修改描述中的x为c, 修改证明必要性中的\norm{P_{F_{1}}为 \norm{P_{F_{1}}\leqslant c, 修改y_{F_{2}}为y\in F_{2}
定义 3.1.1: 修改定义中的托为若;
定理 3.1.4: 修改 (2) 证明中的\varOmega\subset\varOmega为\varOmega_{1}\subset\varOmega_{2};
定理 3.2.4: 修改定理中的\abs{f(x)}为\tabs{\tilde{f}(x)};
推论 3.2.8: 修改证明中最后一个行间公式中的=为\geqslant;
推论3.2.14: 修改推论中的\leqslant为<, 修改行间公式中的\abs为正常大小;
注 3.3.2: 修改证明中的n\to\infty为m\to\infty, 求和上限m改为n;
定理 3.3.4: 修改证明第一行的\ne为\notin, 修改证明中的y_{n}\in为(y_{n})_{n\geqslant1}\subset, 证明最后增加对 Mazur定理的描述;
定义 3.3.5: 修改定义中的\in为\subset;
定义3.3.9: 修改定义中的\in为\subset;
命题3.3.13: 修改证明中的\norm为\abs;
定理 3.4.2: 修改定理中的\Star{E}与证明中的F为\Star{F}, 修改第二个行间公式中的x\in\Star{F}为f\in\Star{F};
注 3.4.3: 将是完备时改为不完备时;
定理 3.4.9: 修改 (1) 证明中的\Star{u}(f)为\Star{u}(f)=0;
定理 3.5.3: 将证明中的f(e_{k})改为\tilde{e}_{k}(f_{k});
命题 3.5.4: 修改证明下方的括号两端的引号;
命题 3.5.5: 证明中第一个行间公式增加^{1/p};
推论 3.6.4: 充分性证明中增加对w*-紧对象的明确描述;
注 3.6.5: 修改弱紧为w--紧;
定理 4.1.5: 修改证明中必要性中第二段的只需说用为且, 修改F_{n}为f_{n}, 修改证明必要性中的n\geqslant1与 充分性中的E为下标;
定理4.1.8: 增加证明中\CF_{r}(H)是理想的明确描述;
习题 4.2: 修改证明中的<\frac{1}{i}为\leqslant\frac{1}{i}, 明确y^{(i)}的范围为\tilde{B};
习题 4.10: 修改不和谐的下标, 在行间公式的内积范数中增加平方;
习题 6.10: 修改 (3) 证明中的u为e;
习题 6.19: 修改 (1) 和 (2) 证明中的可列为可测, 修正不应该为下标的\abs{f}^{q};
习题 8.1: 修改 (1) 证明中的\norm{\tilde{f}}为\norm{\tilde{f}}=1;
习题 8.3: 证明充分性的第二个行间公式中b_{l}修改为f(b_{l}), 修改最后一行\hat{f}|_{A}为\hat{f}|_{A}=f;
习题 8.9: 删除证明 (2), 只保修另证, 修改 (3a) 证明第一行的=为\ne;
习题 8.13: 修改题面为闭线性子空间, 将 (1) 中的=改为在, 修改 (2) 中的x_{2n-1}为c_{2n-1}, 修改证明最后的f_{A_{0}+B}为f|_{A_{0}+B};
习题 8.15(a): 修改题面中的不要为必要, 修改充分性最后一行的\leqslant为<;
习题 9.1: 增加 (2) 证明第二个行间公式中\varepsilon与2\norm{f_{n}}之间的+;
习题 9.16: 修改题面中的范数位置, 修改证明中 (2) 下方的\norm{x_{n}, x_{m}}为\norm{x_{n}-x_{m}};
补充题 6: 修改倒数第二个矩阵 (2, 2) 元素a为1-a;
定义 A.1.1: 修正逻辑表达式;
定义 2.2.5 下的注记: 修改证明中的to为\to;
大批量规范写在一起的算子的写法.

2019秋季学期泛函分析课程笔记 (20200101修正)

本次更新修正了以下内容
推论 2.2.4: 修改行间公式中的 \leqslant 为=;
定理2.3.5: 修改唯一性上方的 \leqslant 为 \geqslant, 修改必要性中的 \lrangle{x-y, z-u} 为 \lrangle{x-y, z-y};
定理2.4.1: 证明中增加了 \norm{\varphi(x)};
注2.4.4: 修改 (1) 中的共轭转置为 \dagger;
定理 2.6.1: 删除证明中 E 前的多余空格, 修改倒数第二行中的 0 为 O;
定理 2.6.3: 修改 (2) 证明中的 = 为 \ne, 修改证明中的 0 为 \varnothing;
例 2.6.4: 修改错误下标 F_{n};
例 2.7.11: 修改证明中的秩序为只需;
命题 2.7.17: 修改证明 (1)=>(2) 中的或为且, 修改注意到下的行间公式中的 x 为 e;
推论 2.7.18: 删掉代数互补后的则 X, Y 拓扑互补;
习题 4.10: 修改 (1) 中罗列中的 \dots\norm{x_{2}} 为 \dots\norm{x_{n}};
习题 6.8: 修改证明中的 \sum 为 \sup;
习题 6.13: 修改证明中第三个行间公式的 U 为 u, 修改下一行的 \baro{F+G} 为 \baro{B_{F+G}};
习题 6.15: 修改证明中的 \lrangle{u(x_{n}, z)} 为 \lrangle{u(x_{n}), z}, 修改 \lrangle{(u(x_{n}, z))} 为 \lrangle{u(x_{n}), z};
习题 6.16: 修改证明中的 x_{n} 为 x'_{n}.

2019年秋季学期泛函分析课程笔记(20191226初版)

Chapter 1. 度量空间与拓扑空间
基本概念、完备性、连续映射与不动点定理、度量空间的完备化、紧性、乘积拓扑、赋范线性空间、连续函数空间.

Chapter 2. 线性算子与线性泛函
连续线性映射、内积空间、投影算子、对偶与共轭、正交基、Baire空间、共鸣定理, 开映射定理和闭图像定理、Fourier分析.

Chapter 3. Banach空间的对偶理论
半范数, Hahn-Banach 定理, 弱拓扑与弱*拓扑, 共轭算子, 自反性, 弱*紧性

Chapter 4. 紧算子
有限秩算子与紧算子, 紧算子的谱性质, Hilbert空间上的自伴紧算子

Appendix-A. 一些因为太显然而没有在课上证明的命题
Appendix-B. 一些习题课上讲过的题目

Week 16, 紧算子的谱性质

Chapter 1. 度量空间与拓扑空间 (done)
基本概念、完备性、连续映射与不动点定理、度量空间的完备化、紧性、乘积拓扑、赋范线性空间、连续函数空间.

Chapter 2. 线性算子与线性泛函 (done)
连续线性映射、内积空间、投影算子、对偶与共轭、正交基、Baire空间、共鸣定理, 开映射定理和闭图像定理、Fourier分析.

Chapter 3. Banach空间的对偶理论 (done)
半范数, Hahn-Banach 定理, 弱拓扑与弱*拓扑, 共轭算子, 自反性, 弱*紧性

Chapter 4. 紧算子 (working...)
4.1. 有限秩算子与紧算子 (done)
4.2. 紧算子的谱性质 (done)

Appendix-A. 一些因为太显然而没有在课上证明的命题(working...)
A.1: 拓扑空间与度量空间 (done)
A.2: 线性算子与线性泛函 (done)

Appendix-B. 一些习题课上讲过的题目(working...)
B.1: 第1、2章习题(done)
B.2: 第3章习题 (done)
B.3: 第4章习题 (done)
B.4: 第5章习题 (done)
B.5: 第6章习题 (done)
B.6: 第8章习题 (done)
B.7: 第9章习题 (working...)
B.8: Problem Set系列 (working...)
B.9: 第17周习题课 (2019年12月23日)(empty)

Week 15, 紧算子

Chapter 1. 度量空间与拓扑空间 (done)
基本概念、完备性、连续映射与不动点定理、度量空间的完备化、紧性、乘积拓扑、赋范线性空间、连续函数空间.

Chapter 2. 线性算子与线性泛函 (done)
连续线性映射、内积空间、投影算子、对偶与共轭、正交基、Baire空间、共鸣定理, 开映射定理和闭图像定理、Fourier分析.

Chapter 3. Banach空间的对偶理论 (done)
半范数, Hahn-Banach 定理, 弱拓扑与弱*拓扑, 共轭算子, 自反性, 弱*紧性

Chapter 4. 紧算子
4.1. 有限秩算子与紧算子 (working...)

Appendix-A. 一些因为太显然而没有在课上证明的命题(working...)
A.1: 拓扑空间与度量空间 (done)
A.2: 线性算子与线性泛函 (working...)

Appendix-B. 一些习题课上讲过的题目(working...)
B.1: 第1、2章习题(done)
B.2: 第3章习题 (done)
B.3: 第4章习题 (done)
B.4: 第5章习题 (done)
B.5: 第6章习题 (done)
B.6: Problem Set系列
B.7: 第8章习题课 (working...)
B.8: 第15周习题课 (2019年12月9日)(done)